Transversale Lasermoden - Entstehung?

Physikalische Grundlagen, Information und Fragen zu Lasern.

Moderator: ekkard

Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon Matthias1 » Mi 04 Jun, 2014 4:45 pm

Hallo an alle,

ich habe mich gefragt, wie denn wohl genau die transversalen Lasermoden zustande kommen. Ich weiss, dass ein CO2-Laser durch die zylindrische Form der Gaskammer und die benötigten Wandstöße (für Relaxation aus unterem Laserniveau in Grundniveau) immer zum Ringmode tendiert. Was für Ursachen könnte es sonst noch geben? Spontan fällt mir das Lambert-Beerschen-Gesetz ein, was in Verbindung mit dem Strahlengang eines konvokalen Resonators ja auch irgendwie gravierende Unterschiede der Intensitätsverteilung bringt, also auch wieder irgendein Ringmode. Wie kommt es dann zu Moden in Rechtecksymmetrie? Woher weiss ich bei der Angabe TEM01 ob es sich auf Rechteck- oder Rotationssyemtrie bezieht?



Viele Grüße :)
Matthias1
 
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon undineSpektrum » Do 05 Jun, 2014 4:08 am

Hallo Matthias und alle anderen die hier mitlesen, :)

Du möchtest also wissen wie und warum es in einem Laser zu den bekannten Transversalen elektromagnetischen Moden (TEM ) kommt? Alle Deine anderen Fragen hier beziehen sich ja auf diese eine Frage, so daß eine Antwort dankbar leicht fällt. :)

Dennoch erlaube ich es mir jetzt etwas "auszuholen" ...

Leider sind Deine Vermutungen dass hier das aktive Medium und seine Begrenzungen mit reinspielen nicht zutreffend denn die transversale Modenstruktur besteht im Wesentlichen schon in einem leeren Resonator für den sie ( die Modenstruktur oder das Modenspektrum ) in den Büchern zu Lasern und in den Vorlesungen dazu immer diskutiert wird.

Sie kommt - kurz gesagt - dadurch zustande, das eine sich im Resonator ( und auch durch das aktive Medium ) sich ausbreitende Lichtwelle sich eben nicht nur in Richtung ( also parallel dazu ) zur optischen Achse oder Resonatorachse bewegt sondern auch in der dazu senkrechten Richtung.
Die gesamte Bewegung des (Laser-) Lichtes in dem Resonator ist dann die Überlagerung dieser beiden Bewegungen, die auch ein seitliches "Wegdriften" der Lichtwelle zulässt, dies ist aber nur soweit möglich, dass die Resonatorspiegel an den Enden das Licht ( überwiegend ) wieder zurückreflektieren können, anderes Licht geht für den Laserprozess verloren. Das wird bei den Stabilitätskriterien für Resonatoren ( g-Faktoren ) ja berücksichtigt, das das Licht innerhalb des Resonators "umlaufen" soll.
Im einfachsten Fall passiert dieses "Umlaufen" in einem stabilen Resonatoraufbau ( z.B. konfokaler Resonator ) entlang der Resonatorachse, aber es gibt auch kompliziertere Lichtwege auf denen die Lichtwellen in dem Resonator - gewissermassen im "zick-zack" auf einer geschlossenen Bahn/Strahl umlaufen kann - das ist wie in einem Lichtwellenleiter und wird auch formal genauso beschrieben. :)
Dabei können die Wege auch außerhalb der Achse und auch teilweise nicht parallel dazu verlaufen. Diesen "Strahlen" ( das ist eine Erklärung im Rahmen der geometrischen Optik :!: ) entsprechen dann höhere Moden. Sie ergeben sich als "zick-zack-Wege" der Lichtstrahlen für verschiedene Ausbreitungsrichtungen der Lichtwellen bei sehr kleiner oder verschwindender Wellenlänge im Vergleich zu den Resonatorabmessungen.
Die Lasermoden sind dann das zugehörige wellenoptische Interferenzmuster der laufenden Wellen innerhalb des Resonators,soweit eine grobe, teilweise auch falsche Erklärung im vorab.
Wie es gemeint ist und einigermassen zutreffend ist siehst Du hier:

TEM-Moden.jpg


Um es genauer zu erklären muss die Wellentheorie / Wellenmechanik der auf unterschiedlichen Wegen im Resonator umlaufenden Lichtwellen erklärt werden womit sich das Modell jetzt erweitert.
Die TEM Moden sind sozusagen stehende Wellen senkrecht zu den Spiegeln. Was zwingt diese Lichtwellen dann zur Umkehr so das eine stehende Welle - wie hier im Fall einer Oberflächenwelle in einem Wasserwellenkanal durch Reflexion an der hinteren Bande - entstehen kann?
http://www.youtube.com/watch?v=cQcPM5PPvu0
Die Spiegel eines stabilen Resonators sind in der Regel mehr oder weniger gekrümmt, es handelt sich dabei ja um Hohlspiegel, deren tiefste Delle oder "Tal" in der Resonatormitte liegt.
Sieht man jetzt von der longitudinalen Ausbreitung entlang der Resonatorachse mal ab, wird das Licht durch diese gewölbte Fläche des Spiegels immer wieder durch Reflexion zur Umkehr "gezwungen" und verleibt so innerhalb des Resonators - alles andere Licht geht verloren.
Wie genau das geschiet hängt von der Wölbung des Spiegels ab. Das Licht verhält sich in transversaler Richtung auf dem Spiegel also wie eine rollende Stahlkugel in einer Uhrglasschale, die immer wieder durch die Höhlung zurückläuft. Da das Licht eine Welle ist entsteht dabei Interferenz zwischen der hin- und zurücklaufenden Welle und es entstehen stehende Wellen in einer Fläche senkrecht zur Resonatorachse - zusätzlich zu den stehenden Wellen in Richtung der Resonatorache (longitudianle Moden) ... die Interferenzfiguren senkrecht dazu sind die TEM-Moden. :)
Um sie mit dieser Überlegung vorhersagen zu können muss man allerdings noch wissen, das ja die Spiegeloberfläche eines Hohlspiegels eine (elektrische gut leitende ) Metallfläche ist auf der das elektrische Wellenfeld zusammenbricht : Die Spiegeloberfläche formt dann die Wellenfront.
Ein Hohlspiegel ist allgemein eine Kugeloberfläche mit dem Krümmungsradius R. Da Laserstrahlung ( dessen Moden ja betrachtet werden ) durch seine starke Bündelung paraxiales Licht "par excellence" ist werden die Spiegel nur in einem kleinen Bereich um die Mitte beleuchtet und dort wird das Laserlicht reflektiert. In diesem Bereich kann die Kugelfläche durch eine parabolische Fläche ( in der Tat: eine Parabel ! ) angenähert werden.
Das zeigt auch die Darstellung einer Kugelfläche in einem y-x-Koordinatensystem, die den Koordinatenursprung schneidet. Die Taylorentwickelung um diesen Punkt ergibt in erster Näherung eine Parabel:

KREISBOG.jpg


Die Näherung für den Radius mit dem Achsenabstand x z.B. ist dann:

Radien1.jpg


Auf dem Spiegel zeigt sich das etwa so ( paraxiale Optik in Fresnelscher Näherung ) :

Spiegel.jpg


Die Ausbreitung des Laserlichtes erfolgt also mit näherungsweise parabolischen Wellenfronten. -> Fresnelsche Näherung der skalaren Wellenausbreitung(!)
Die Berechnung der Moden für viele Umläufe auf dem Resonator berechnet sich durch sukzessive Anwendung des Fresnelschen Beugungsintegrals, in welche die Koordinaten x und y dann gem. der Fresnelschen Näherung quadratisch eingehen -> Fresnelbeugung.
In einer Arbeit von Fox und Li von 1961 kannst Du diese numerische Berechnung ( damals noch für Mikrowellen ausgeführt ) Dir ansehen, sie führt für eine grosse Zahl von Resonatorumläufen je nach Randbedingungen auf die bekannten Gaußstrahlen mit TEM-Moden unterschiedlicher Ordnung.
Es ist ein sukzessiver Prozess von Umlauf zu Umlauf je länger der kohärente Wellenzug ist umso besser passt es auf die monofrequente Theorie des Gaußstrahles mit einer bestimmten ( meistens TEM 00 ) transversalen Modenverteilung.
Die Arbeit von Fox und Lie findet sich unter der Referenz:

A.G.Fox/Ting Ye Li : "Resonant Modes in a Maser Interferometer" , The Bell System Technical Journal, März 1961 Seite 485 - 488

sowie:

G.D.Boyd / J.P. Gordon :" Confocal Multimode Resonator for Millimeter Through Wavelength Masers",The Bell System Technical Journal, März 1961 Seite 489 - 508

Der Artikel zeigt die numerischen Ergebnisse - er ist aber leider sehr schlecht lesbar und langwierig, da hier anscheinend "nicht-muttersprachler" sich gekünstelt in Englisch ausdrücken wollten ( empfinde ich jedenfalls so ) und die Ergebnisse dieser ( einer der ersten Computerphysikarbeiten ) sind ja bekannt - da lohnt fast schon das selber rechnen anstatt langwieriges lesen ... :) und gerade ich muss diese hervorragenden Wissenschaftler hier so heruntermachen.. tsts... :roll:
Die "fertig ausgebildeten" Moden bestimmter, fester Frequenzen ( die damit auch total kohärent sein müssen(!)) können dann im Rahmen der Wellentheorie leicht mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen und der sich für beschleunigt ausbreitende Wellenfelder daraus ergebenden, linearen Wellengleichung beschrieben werden.
Macht man sich klar, dass es sich ( in transversaler Richtung = senkrecht zur Resonatorachse !) um "stehende Wellen auf der Spiegelhöhlung" handelt, so fällt im Fall einer parabolisch angenommenen Spiegeloberfläche sofort folgendes auf:

- Durch die totale Kohärenz der Lichtwellen entsteht Interferenz zwischen hin-und rücklaufender Welle -> stehende Wellen -> Abspaltung des zeitlichen Anteils (Separationsansatz möglich) -> Reduzierung der Wellengleichung auf eine Wellenamplitudengleichung (Helmholtzgleichung!) für die TEM-Wellen.

- Die Bewegung der Lichtwelle gleicht dem eines harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik ( parabolische Oberfläche ! V(x)=1/2*m[phot]*omega^2*x^2!), so dass die dem harmonischen Oszillator analoge Helmholtzgleichung im zweidimensionalen Fall entstehen muss, die auch entlang einer linear unabhängigen Bewegungsrichtung den gleichen Satz von Lösungen für die Wellenamplitude hat.

- Welche Wellenamplitudenverteilungen auftreten hängt von der Spiegelform (Rechtecksymmetrie oder Kreissymmetrie) ab, da Hohlspiegel in der Praxis aber doch immer radial- oder achsensymmetrische (Kugel-!) Flächen haben ist der Paraxialbereich radialsymmetrisch-parabolisch.
Die Wellen(amplituden)funktionen hängen vom Radius und ggf. vom Winkel ab.

Bei Rechtecksymmetrie besteht der Hohlspiegel aus zwei parabolisch gebogenen, senkrecht angeordneten Streifen oder enthält ggf. eine Zylinderlinse (Anamorphot o.ä.) so das die horizontale x und die vertikale y-Richtung unabhängig voneinander die Wellenfunktionen des elektrischen Feldes strukturieren.

Rechnung dazu jetzt:
Aus den Maxwellschen Gleichungen für beschleunigte Felder ergibt sich für den Fall stehender Wellen mit dem Separationsansatz folgende Wellengleichung für einen "rechtecksymmetrischen Spiegel" aus zwei gekrümmten Reflektorflächen entlang der horizontalen und vertikalen Richtung:
HELMHxy.jpg

Und für den in der Praxis oft vorkommenden, radialsymmetrischen Spiegel:
HELMHOLT.jpg

Hierbei sind die Strecken R(x,y) oder R(r,phi) in der Regel sehr klein gegenüber der Resonatorlänge. Sind beide Größen Null handelt es sich um einen Planspiegel. Die Vorzeichenkonvention für gekrümmte optische Oberflächen im Verhältnis zur Ausbreitungsrichtung der Lichtwellen muss beachtet werden.
Diese Helmholzgleichungen haben für beide Fälle der transversalen Wellenausbreitungen im mathematischen Sinne ( Satz von Liouville!) geschlossene und exakt formulierte Lösungen gefunden. Sie lauten für den Fall der Rechtecksymmetrie:
EXYLÖSUN.jpg

Was diese Lösung bedeutet wird klar wenn man sich die Funktionen und ihre Ableitungen nach diskreten Idizes n und m die ganzzahlig sein müssen ( Ableitungen nach unabhängigen Variablen sind jeweils nur ganzzahlig definiert ! )genauer betrachtet. Es handelt sich neben einer Gauss-Funktion hier um sog. Hermitische Polynome für die jeweils unabhängigen Raumrichtungen x und y deren Verlauf mathematisch durch eine "hermitische Differentialgleichung" jeder unabhängigen Raumrichtung gegeben ist und die nur für n und m als Elemente der ganzen Zahlen ( also in Quanten ) ableitbar sind:
DGLHERMI.jpg

Die als exakte Lösungen dieser Sätze von Differentialgleichungen für jede Raumrichtung resultierenden Polynome der unabhängigen Raumrichtungen mit dem Quantenzahlen n und m sind dann:
HERMITEP.jpg

Woraus sich ergibt : Die Moden sind quantisiert, d.h. ihre Modenordnung ist n und m für jede unabhängige Richtung senkrecht zur Resonatorachse durch ganze Zahlen bestimmt.
Sie beschreiben stehende Wellen für die Bewegung der Lichtwellen entlang der beiden unabhängigen Raumrichtungen.
Und für den den Fall der Kreissymmetrie ist die Lösung der radialen Helmholtzgleichung:
ERPHILÖS.jpg

Auch hier zeigt sich wieder, dass die Lösung - wenn sie genauer betrachtet wird - von zwei Quantenzahlen p und l abhängt. l ist dabei Winkelabhängig und beschreibt die Interferenz der Wellen mit sich selbst zu einer stehenden Welle bei einer Kreisbewegung um die Resonatorachse und ist dann so etwas wie eine "transversale Drehimpulsquantenzahl des Laserlichtes". :wink:
Radial gibt es noch eine Hauptquantenzahl p, diese beschreibt die durch Interferenz zu stehenden Wellen des Laserlichtes senkrecht dazu, also bei der Bewegung von Lichtwellen von außen nach innen. Das passiert mit Hilfe der sog. Laguerreschen Polynome, die das Gaußprofil des Grundmodes ( TEM 00 ) modulieren. Diese sind quantisiert, weil sich nur sinnvolle Lösungen des Problems für die Laguerreschen Differentialgleichungen ergeben, wenn q eine ganze Zahl ist:
DGLLAGUE.jpg

Die Lösungen dieses Laguerreschen Differentialgleichungssatzes für ganzzahlige q sind dann:
LAGUERRE.jpg

Das spiegelt sich in den Lösungen oben ja wieder. :freak:
Hieraus ist auch schon zu erkennen: Die Verteilungsqualität ist bei Rechteck-und Kreissymmetrie unterschiedlich. Berechnet man die Bestrahlungsstärke in Watt pro m² dieser Verteilungen bei der Modulation mit einer in Richtung der Resonatorachse ausgekoppelten Welle, durch die Bildung des Betragsquadrates des elektrischen Wellenfeldes in der x-y-Ebene oder r-phi-Ebene senkrecht zur Strahlrichtung so ergeben sich die
bekannten Verteilungen.
Für den Fall des TEM00-Modes ergeben sich keine sichtbare Unterschiede zwischen Rechteck- und Kreissymmetrie:

TEM00.jpg


(Links:Rechtecksymmetrie, Rechts:Kreissymmetrie)

Für den TEM00-Mode ist es egal welche Symmetrie vorherrscht weil Hermite- und Laguerre-Polynome ( deshalb habe ich das so gründlich oben ausgeführt !) in der mathematischen Beschreibung ja wegfallen. :wink:
Dieser "transversale Grundzustand" entspricht einer Ausbreitung der Lichtwelle entlang der Resonatorachse. Seine Gaußverteilung stellt - in der Formulierung der Quantenmechanik - eine Art optische "Nullpunktsfluktuation" dar. :freak:

Anders ist das bei TEM10 : (Links: Rechtecksymmetrie, Rechts:Kreissymmetrie)

TEM10.jpg


Auf der linken Seite bedeutet die transversale Bewegung eine Bewegung der Lichtwelle in einer Raumrichtung zu der "Nullpunktsverteilung" des TEM-00. Bei der Bewegung in der Horizontalen entsteht und durch die Interferenz der Lichtwellen zu stehenden Wellen in transversaler Richtung eine andere Wellenlänge als senkrecht dazu und ein Interferenzminimum auf der Achse entsteht. Die Quantenzahl ist n=1 in der horizontalen Richtung, aber m=0 (senkrecht dazu). :wink:
TEM 10 bedeutet in der Radialsymmetrie aber : Die (Haupt-)Quantenzahl ist p=1 und die Drehimpulsquantenzahl des Laserlichtes l=0, d.h. die Lichtwelle oszilliert in der Laufrichtung nur im Abstand von der Resonatorachse über die Spiegelfläche. Durch Interferenz entsteht ein Minimum neben dem Maximum auf der Achse, weil die Wellenlänge sich dadurch radial gegenüber einem TEM00-Mode verändert hat. Eine Drehbewegung (Wirbel) macht das Licht um die Resonatorachse in diesem Fall eines TEM10 Modes nicht.
Gut für das Verständnis dieser komplex erscheinenden Bewegungen ist sich immer zu merken, das zusätzliche Bewegungsrichtungen immer die Wellenlänge des Lichtes (-> De-Broglie-Wellenlänge!) verändern. Beim Laserlicht und in der Optik gibt´s ja nur eine einzige Geschwindigkeit! -> Maxwellsche Gleichungen
Siehe auch hier: http://www.youtube.com/watch?v=-ZS2gmN3lDQ

Hier vielleicht noch ein Fall, eine TEM21 - Mode:(Links: Rechtecksymmetrie, Rechts:Kreissymmetrie)

TEM21.jpg


Im Fall der Rechtecksymmetrie sind dies stehende Wellen durch Interferenzen in den beiden Raumrichtungen die mit unterschiedlicher Neigung gegenüber der Ebene bei Ihrer Bewegung durch den Resonator senkrecht zur Resonatorachse oszillieren. Bei der Radialsymmetrie bewegt sich jetzt das Licht nicht nur vom Zentrum nach aussen sondern auch im Kreis um das Zentrum herum und hat damit einen Drehimpuls. :freak:
Um die Moden vorherzusagen muss man sich immer verdeutlichen welche Bewegungsrichtungen die sich durch Interferenz zu stehenden Welle überlagernden laufenden Lichtwellen beschreiben.
Das hört sich machmal leichter an als es tatsächlich ist.
Wohlgemerkt : Die Interferenz bildet das Muster der Transversalmoden heraus, -> Quantenmechanik, es handelt sich dabei nicht um eine Bewegung irgendwelcher "punktförmiger" Partikel (Photonen) - das ist eine falsche Interpretation. Ich verweise auf meine Ausführungen hier: http://laserfreak.net/forum/viewtopic.php?f=182&t=55595 :wink: Die Photonen sind die Wellenfelder der beobachteten Moden, anders ist die Überlagerung durch Abschwächung (destruktive Interferenz) nicht zu erklären, denn Aufenthaltswahrscheinlichkeiten sind niemals negativ.
-> Negative Wahrscheinlichkeiten sind nicht definiert.(!) Die Wellenfelder sind dabei keine reinen Abstraktionen des menschlichen Geistes ... :wink: ->Interferenz

Ich hoffe ich konnte etwas erklären, wie solche Moden entstehen, und habe dabei ( weitschweifend ich weiss... :oops: ) die Hintergründe zu Ihrer Entstehung erklärt. Nicht nur weil diese wichtig für das Verständnis sind, sondern weil auch das Auftreten dieser Transversalmoden in Lasern ein schönes Beispiel für die konvergenz unterschiedlicher naturwissenschaftlicher Fachgebiete sind.

Die Konvergenz besteht aus meiner Sicht darin, das sämtliche Phänomene in dieser Welt durch die Bewegung bzw. das Verhalten von Wellen zu deuten sind. Diese Moden treten nicht nur in der Optik, sondern auch in der Atom- und Kernphysik sowie der Akustik aber auch der Meteorologie und auch in der Festkörperphysik und vielen anderen Gebieten der Physik auf, die zunächst völlig verschiedene Gegenstände behandeln.
Auch durch Ihre ästhetisch bestechende Erscheinung machen sie uns aufmerksam auf diese Konvergenz und den Zusammenhang: Das nämlich Wellen diese Welt formen und noch immer weiter dabei sind diese zu formen... :freak: :

Hier einige Beispiele, wo die Ähnlichkeit der Erscheinungen förmlich ins Auge sticht - die Zusammenhänge bewahrheiten sich auf eine mathematische Weise : Es sind dieselben Differentialgleichungen die Wellenbewegungen von Platten und Hohlräumen, Lasern und verschiedenen Sendern, Musikinstrumenten sowie Atomhüllen und -Kernen beschreiben. Klar der Mensch hat diese erstellt und erarbeitet und deshalb ist immer wieder zu hören die Gemeinsamkeit von all diesen Vorgängen sei dass der Mensch mit seinem ( noch unerforschten ) Geist diese Dinge wahrnimmt. Das ist aber glaube ich ein sehr soplipistisch geprägter Irrtum. Denn: Die wellentypischen Erscheinungen zeigen sich in so unterschiedlichen Gebieten die bisher kaum eines Menschen wahrnehmung überblickt ( und deshalb nicht wesentlich von Ihr konditioniert sein kann) sondern auch darin das in einer (nichtlinearen) Verflechtung zwischen Beobachter und Objekt diese entstehende Beobachtung nicht zwingend überwiegend auf den Einfluss des Beobachter zurückzuführen sein muss. :wink: Zudem entzieht die Interferenz ( Dunkelstellen ) ja jegliche Beobachtungsmöglichkeit in einem bestimmten Bereich des Ortsraumes.

http://www.youtube.com/watch?v=IXlvSX2rXhk
http://www.youtube.com/watch?v=o1YjIyzshh8
http://www.youtube.com/watch?v=wvJAgrUBF4w

Das Auftreten genau diese Moden ist auch die Grundlage der Musik. Wenn die Differentialgleichung der Lasermoden die Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators der Quantenmechanik im Zweidimensionalen darstellt, dessen Energiezustände genau äquidistant liegen, dann ist dies die Grundlage jeder natürlichen und menschlich geschaffenen Tonleiter.
Der eindimensionale harmonische Oszillator beschreibt ja durch die zeitunabhängige Schrödingergleichung stehende Wellen sich in einem parabolischen Potential bewegenden Materiewellen. Das sieht wie folgt aus:
QMOSZILL.jpg


Nach etwas länglichen Rechnungen ( hier werden sie z.B. auf englisch erklärt: http://www.youtube.com/watch?v=Rf6Ks5m02fk :wink: ) ergeben sich Lösungen für die Wellenfunktionen, die wieder ( wie im Fall der Lasermoden ) aus dem Produkt aus diskreten, Hermitischen Polynomen und einer Gaußfunktion bestehen:
QMOszpsi.jpg

Mit einigen Materiewellen-Moden die wie folgt aussehen:
WELLENFU.jpg

Deren Quadrat ( wie die Bestrahlungssträrken des Laserlichtes ) dann folgende Ladungs- und Massedichten ergeben:
LÖSUNGEN.jpg

Ich habe sie gemäß dem Energieschema übereinander gezeichnet, damit etwas zu erkennen ist. :wink:
Bei all diesen Erscheinungen die wie der harmonische Oszillator gestrickt sind fällt auf : Die Wellenlängenanbstände sind äquidistant, d.h. untereinander gleich. Das erinnert nicht nur schon in Gestalt und Aufbau an Töne durch die Ganzzahligkeit sondern es sind - in einer musikalisch korrekten Definition - temperierte Quintenstapel, wobei die "Temperatur" durch die Masse der ( auf dem Laserspiegel oszillierenden Lichtwellen oder der auf dem elastischen Potential sich bewegenden Materiewellen ) bestimmt wird. -> "Wellenoptische Laserharfe" :wink:

Man(n)/Frau mag an die Parallelen die sich in einer aus Wellen bestehenden Welt einer/einem da aufdrängen bei sich selber nachspüren - wenn also gilt:"Sein=Schwingung/Welle". Es ist dann physikalisch vollkommen klar warum Musik eine so bedeutende Rolle einnimmt: "Wohl stellt jeder Tonwert eine ( mathematisch wohldefinierte ) Zahl da, aber nicht jeder mathematisch wohldefinierte Zahlwert auch einen Ton - und die ( von Zahlen "regierte" ) Natur "bevorzugt" weit jenseits der zufallsmathematischen errechenbaren Wahrscheinlichkeiten ( Interferenz und stehende Wellen entstehen ja durch "negative Wahrscheinlichkeiten"(!) :wink: ) eben solche Zahlen die gleichzeitig Tonwerte sind. Sie bevorzugt also nicht Zahlen sondern Töne... :freak:
Ich denke dazu ist dieses hier vielleicht zum Abschluss - und zum Nachdenken - vielleicht noch sehens- und vor allem : Hörenswert... :D :

http://www.youtube.com/watch?v=LLwClbpnIaM
http://www.youtube.com/watch?v=XKRj-T4l-e8
http://www.youtube.com/watch?v=47TGXJoVhQ8
:mrgreen:

Weitere Fragen beantworte ich gerne.
Ich hoffe dieser ( wahrscheinlich wieder von den üblichen Rechtsschreibfehlern durchzogene Text hier :oops: ) hat beim Verständnis der Physik der transversalen Lasermoden und Ihrem Zusammenhang mit dem Rest der Physik weitergeholfen und ich freue mich nicht nur Fragen beantwortet sondern vielleicht auch wieder für interessante Beschäftigung gesorgt zu haben. :freak:

Grüße,

Undine

P.S.: Zur Quellenangabe gebe ich an, die erste Zeichnung am Beginn dieses Artikels von AG Lasertechnik / Institut für Materialwissenschaft und Werkstofftechnologie der Universität Jena aus den Lehrmaterialien übernommen zu haben. Dies geschieht hier zu Lehr- und Ausbildungszwecken und ist somit Urheberrechtlich zulässig.
Die Rechnungen zu den TEM - Moden wurden mit Hilfe einer einfachen Kommandozeile in Mathematica von mir selbst erstellt. :wink:
Du hast keine ausreichende Berechtigung, um die Dateianhänge dieses Beitrags anzusehen.
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon pardini » Do 05 Jun, 2014 6:41 am

boah... ich bin erschlagen. Ist zwar nicht meine Frage, aber das Thema ist damit wohl erklärt. Danke Undine.
Für so einen Aufsatz hätte ich mindestens 4h, alleine wegen der Bildrecherche und der Formeln benötigt. Ganz großer RESPEKT!

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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon Matthias1 » So 08 Jun, 2014 12:36 pm

Hallo Undine,

sorry hatte erst jetzt Zeit wieder ins Forum zu schauen...
Erstmal vielen Dank!
Deine Antwort übersteigt jedoch meinen IQ, soll heissen ich kann nur teilweise folgen. Ich bin mal so frei und erläutere nun wie ich das nun verstanden habe.Ich beziehe mich nur auf die Modenentstehung und lasse mal die zusätzlichen Erläuterungen mit Materiewellen etc. weg. Die Transversalmoden sind zum Einen auf die Spiegelform und zum Anderen auf die Kohärenzlänge der Strahlung zurückzuführen.
Handelt es sich um rotationssymmetrische Spiegel mit Krümmungsgradius R sind die Ausbreitungsbedingungen für X und Y-Richtung identisch -->Modenbild in Rotationssymmetrie. Sind die Spiegel nicht rotationssymmetrisch --> unterschiedliche Ausbreitungsbedingungen für X und Y-Richtung -->Rechtecksymmetrie.
Bei der Köhärenzlänge, also die Monochromasie der Strahlung, handelt es sich ja um die Frequenz- bzw. Wellenlängenunterschiede der vom AM erzeugten Strahlung, die ja nie immer exakt die selbe ist, Stichwort Dopplereffekt. D.h. nicht für jede Wellenlänge ist die Bedingung erfüllt, dass der Spiegelabstand exakt einem ganzen Vielfachen der halben Wellenlänge entsprechen muss -->Intensitätsunterschiede.

Stimmt das so in etwa?


Viele Grüße :D
Matthias1
 
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon medusa » So 08 Jun, 2014 3:19 pm

Ach Undine....

(schade, daß es kein verträumt-romantisches Smilie gibt) wie schön, eine solche echte Synthese von interdisziplinärer Naturwissenschaft und Philosophie noch einmal zu lesen... ich fürchte, wir gehören einer aussterbenden Art an. Heutzutage sind Fachidioten gefragt.
Schade, daß ich nicht mehr in der Lehre bin. Wäre ein schönes Beispiel drin, wozu man Taylorentwicklungen (yep, mehrdimensional!) braucht, das wollten die kleinen "Ölfinger" damals nie einsehen. :|

Ähnliche, an Erlechtung grenzende Erkenntnisse hatte ich, als ich damals tiefer in die Variationsrechnung eingestiegen bin. Die Natur sucht sich eine Funktion, die zu festen Randbedingungen ein gegebenes Integral minimiert. Ganz einfach eigentlich und außerordentlich einleuchtend, wenn es um Energie geht. Wenn ich mich recht erinnere, kann man die Maxwell-Gleichungen so herleiten (ist aber schon lange her).

~medusa.
Wir sind Sternenstaub, buchstäblich... jedes einzelne Atom schwerer als Wasserstoff und Helium in unseren Körpern ist im Fusionsfeuer im Herzen eines Sterns geschmiedet worden.
Vielleicht lieben wir deshalb das Licht so sehr.
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon undineSpektrum » So 08 Jun, 2014 3:28 pm

Hi Matthias, :)

Na ganz klar doch, ich bin ja auch nicht immer hier anwesend - nur wenn´s die Zeit zulässt, deshalb dauern ja auch manche Antworten von meiner Seite her länger.
Also zum Verständnis liegst Du jetzt ja im wesentlichen richtig, lernen ist ja ein (rekursiver) Prozess...
Du schreibst:
Zitat anfang
Matthias1 hat geschrieben:Die Transversalmoden sind zum Einen auf die Spiegelform und zum Anderen auf die Kohärenzlänge der Strahlung zurückzuführen.

Zitat ende...
Genau so ist es im Wesentlichen. :) Die extrem große Kohärenzlänge ist unabdingbare Voraussetzung dafür dass stehende Wellen sich ausbilden können. Wichtig zu betonen ist bei der Spiegelform als Begründung dass durch die gebogene Oberfläche die Wellenfronten ja mehr und mehr "verkippen" und so andere (geschlossene) Umläufe entstehen wo die Wellenfronten dann schräg zur Resonatorachse laufen.
Die Höhlung der Spiegel wirkt dann senkrecht zur Ausbreitungsrichtung auf die Lichtwellen wie die "Bande" eines Billiardtisches auf eine nach dem Stoß des Spielers herumlaufende Kugel. -> Reflexionsgesetz (Gilt in der Mechanik nur ohne Drehimpuls !)
Die Form der Spiegel entscheidet genau darüber welche stehenden Wellen sich ausbilden können. -> Rechtecksymmetrie / Kreissymmetrie.
Maßgeblich sind dafür die Berandung der Spiegelfläche als deren Oberflächenform. Wichtig!
Dann schreibst Du ja noch:
Zitat anfang:
Matthias1 hat geschrieben:Bei der Köhärenzlänge, also die Monochromasie der Strahlung, handelt es sich ja um die Frequenz- bzw. Wellenlängenunterschiede der vom AM erzeugten Strahlung, die ja nie immer exakt die selbe ist, Stichwort Dopplereffekt. D.h. nicht für jede Wellenlänge ist die Bedingung erfüllt, dass der Spiegelabstand exakt einem ganzen Vielfachen der halben Wellenlänge entsprechen muss -->Intensitätsunterschiede.

Zitat ende...
Hier geht jetzt im Verständnis etwas durcheinander... Als Dopplereffekt würde ich das nicht bezeichnen. Was meinst Du genau mit "AM" ... :?
Dopplereffekt ist Definiert als eine Wellenlängenverschiebung in Folge einer Relativbewegung. Wo ist hier eine Relativbewegung Deiner Meinung nach, die diese Aussage rechtfertigt ... der Spiegel wird ja nicht bewegt, es ist ein fest aufgebauter Resonator.
Verschiedene TEM - Moden treten ja auch in unterschiedlichen, aber fest aufgebauten Resonatoren gegenüber dem Laborsystem ( als inertiales Koordinatensytem ) auf... ein Doppler-Effekt scheidet als Ursache hier vollkommen aus. :wink:
Dennoch ist es auch möglich dass eine Doppler-Verschiebung auch Ursache für eine Modenverschiebung in einem bewegten Resonator sein kann. Aufpassen! Erster Satz korrigiert einen Irrtum, zweiter Satz beschreibt einen tatsächlich möglichen Effekt, der aber für unsere Diskussion hier keine Rolle spielt -> Annahme ruhender Resonatorspiegel!
Richtig ist vielmehr:
Die unterschiedliche Wellenlänge kommt durch die geneigten Wellenfronten in transversaler Richtung zustande, die durch die Krüpmmung der Spiegeloberfläche entstehen. Die (optische) Weglänge ist ja bei der Ausbreitung zu dem Umkehrpunkten größer. Das beschreibt dann eine andere Wellenlänge, die in der transversalen Richtung umso kleiner wird, je schräger die Lichtwelle im Resonator hin- und herläuft. ( Siehe Bild ganz am Anfang meiner Antwort oben ! )
Es handelt sich um transversale stehende Wellen - wohlgemerkt. :wink:

Wichtig ist auch die formale Argumentation wenn Du im Studium etwas beschreibst. Es ist zwar meistens klar was gemeint ist, dennoch ist so manch Aussage schlicht falsch, wenn Du nicht darauf achtest was Du nicht ausschließt. Warum ich den "Zinnober" schreibe? Weil Du ein treffendes Beispiel dafür gegeben hast mit dem richtig gemeinten, formal aber falschen Satz:
Zitat anfang:
Matthias1 hat geschrieben:Sind die Spiegel nicht rotationssymmetrisch --> unterschiedliche Ausbreitungsbedingungen für X und Y-Richtung -->Rechtecksymmetrie

Zitat ende...
Falsch ist daran das ein "nicht rotationssymmetrischer Spiegel" nicht zwangsläufig immer eine Rechtecksymmetrie verursacht. "Nicht rotationssymmetrisch" das kann auch ein irgendwie geformter Spiegel sein. ( Spiegel mit kleiner Beule ausserhalb der Symmetrieachse, der dennoch einen stabilen Resonator bildet ) Klar wo der Argumentationfehler liegt? :wink:
Richtig ist eher, dass zwei unabhängige, ebene Raumrichtungen vorliegen. ( also x und y z.B.) die nicht wie im Fall der Kreissymmetrie ( x=r*cos(phi),y=r*sin(phi) ) voneinander abhängen. Die Praxis erreicht das z.B. durch Optiken im Strahlengang wie z.B. einen Anamorphoten.
Es gilt auch in einer Richtung für "Zylinderspiegel" oder "Streifenspiegel", d.h. wenn der Resonatorspiegel aus einer starren Spiegelfolie gefertigt wird wie z.B. dieser hier:
http://www.3bscientific.de/flexible-spi ... 14941.html
Das ist wichtig zu wissen.

Konnte ich damit Dein Verständnis in die Richtige richtung "schubsen"? :)

Trotzdem noch einen schönen Pfingstsonntag wünscht Dir

Undine
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon Matthias1 » So 08 Jun, 2014 5:43 pm

Hallo Undine,

mit AM meinte ich Aktives Medium.


undineSpektrum hat geschrieben:Hi Matthias, :)


Hier geht jetzt im Verständnis etwas durcheinander... Als Dopplereffekt würde ich das nicht bezeichnen. Was meinst Du genau mit "AM" ... :?
Dopplereffekt ist Definiert als eine Wellenlängenverschiebung in Folge einer Relativbewegung. Wo ist hier eine Relativbewegung Deiner Meinung nach, die diese Aussage rechtfertigt ... der Spiegel wird ja nicht bewegt, es ist ein fest aufgebauter Resonator.
Undine



Das mit dem Dopplereffekt rührt doch von den Atomen im Medium her, denn diese haben ja eine gewisse Geschwindigkeit, wodurch dann auch die Wellenlänge beeinflusst wird, wenn auch nur gering. Soll einfach heißen, dass es eben nicht 100% Strahlung einer Wellenlänge gibt.
Um die Antwort etwas mehr in deinem Stil zu halten verweise ich auf das Buch "Laser, Bauformen, Strahlführung, Anwendungen 7. Auflage" von Eichler, Zitat:" Die inhomogene Doppler-Verbreiterung wird durch die Frequenzverschiebung gegeben, welche durch die Geschwindigkeit der Atome oder Moleküle verursacht wird".

Das mit den rotationssymmetrischen Spiegeln sehe ich ein, war aber auch nur als grobe Antwort gedacht.

Viele Grüße und schönes Pfingstwochenende :D
Matthias1
 
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon undineSpektrum » So 08 Jun, 2014 9:00 pm

Hallo,

ja, da ist das mit dem Doppler-Effekt als dominierender Effekt der Linienverbreiterung zutreffend, richtig! :) Wohlgemerkt : Das gilt im wesentlichen für Gaslaser, auch für den präzisesten und verbreitetsten aller Gaslaser, den Helium-Neon-Laser. Dort ist der Doppler-Effekt die dominierende Linienverbreiterung.
Das ist auch was Jürgen Eichler dazu in seinem Buch ausführt.

Diese Laser habe ich ja hier im wesentlichen - in Übereinstimmung mit dem Vorlesungsstoff - angeführt. ( Siehe das Video vom MIT )

Undine :)
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon undineSpektrum » Sa 14 Jun, 2014 4:58 pm

Hallo zusammen,

Ein Nachtrag:
bei Durchgehen meines Textes oben über die Entstehung von Transversalmoden in Lasern ist mir aufgefallen, dass ich die Formel zur Berechnung der elektrischen Feldamplitude für den praktisch sehr wichtigen Fall der radialsymmetrischen Moden da ja gar nicht explizit angegeben habe, wohl aber für den Fall der rechtecksymmetrischen TEM - Moden.
Der Text nimmt zwar darauf - so wie ich es schrieb - bezug, dennoch sind die Ausführungen unvollständig, ein Fehler ist es nicht, aber wenn schon Moden in dieser Ausführlichkeit besprochen werden, sollte auch die Formel für die radialsymmetrischen Moden da sein - meine ich zumindest. :oops:

Deshalb jetzt hier die Formel für die einzelnen, radialsymmetrischen Moden E(r,phi) und den Quantenzahlen l und p, sie lauten allgemein:

RADIALMO.jpg


Wobei die Funktionen neben den bekannten Gauß- und Winkelfunktionen die in meinen Ausführungen erwähnten diskreten Laguerre-Polynome sind. :)
Vielleicht noch ein paar Modenbilder eben dieser radialsymmetrischen Moden hier als "Entschuldigung" :oops: , sie sehen ja sehr schön aus ... : :)
MODENBIL.jpg

Was ist hier zu sehen?
Ausgehend von der Mode mit dem Quantenzahlen p=1 und l=0 ( die TEM00-Mode kennen ja alle, wäre für Modenbilder ja langweilig gewesen... :wink: habe ich die Quantenzahl p in der oberen Reihe von links nach rechts schrittweise erhöht und die Quantenzahl l=0 beibehalten.
In der Reihe darunter habe ich die Quantenzahl p=1 beibehalten und die Quantenzahl l schrittweise nach rechts erhöht.
Dabei fällt auf, das die Radialfunktionen in der Wellenlänge mit steigender Modenordnung konzentrisch von innen nach außen Zunehmen. Im Fall der Erhöhung der Drehimpulsquantenzahl l der Lasermoden nimmt die Wellenlänge entlang einer Bogenlänge eines Kreisbogens um den Mittelpunkt zu, wobei im Mittelpunkt sich ein Knoten der elektrischen Wellenfeldamplitude befindet.
Wohlgemerkt : Das elektrische Wellenfeld eines Laserstrahles ist keine Messgröße oder Observable, sondern das hier berechnete Betragsquadrat.
Das liegt daran dass es keine handhabbaren Dipole oder ähnliche Geräte gibt mit denen dieses Feldstärke im Rahmen der linearen Optik bestimmt werden kann, da alle elektrotechnischen Daten im Sinne von Kapazität und Induktivität von alltagsgegenständen für die Lichtwellen bei Frequenzen von 10^14 Hz viel zu groß und der entsprechende Dipol zu langsam ist.
Deshalb ist auch die Frequenz einer Lichtwelle keine Messgröße, wohl aber die Wellenlänge. :wink:

Die Bilder dieser Moden - die sich in der Theorie sehr schön kontrolliert variieren lassen - zeigen auch das die Vorstellung einer radialen Bewegung des Lichtes von der Spiegelachse zum Rand und zurück als "Deutung" für die Hauptquantenzahl p und die Drehimpulsquantenzahl l als radiale Bewegung des Lichtes um die Resonatorachse im Sinne einer "Quanten-Klassischen-Korrespondenz" ( hier : Korrespondenz mit der geometrischen Optik ! :wink: ) gerechtfertigt ist.
Gleichzeitig wird dabei der Grundsatz der elementaren Optik "Licht breitet sich immer geradlinig aus" scheinbar ad absurdum geführt : Wenn das Licht auf einem radialsymmetrischen Resonator auf geschlossenen Kreisen um die Resonatorachse läuft und so stehende Wellen bildet ( deshalb "Drehimpulsquantenzahl" ! ) ist hier ein Gegenbeispiel gefunden. :wink:
Dieses Verhalten wird ja bei höheren Moden grundsätzlich beibehalten.
Also läuft das Licht nicht nur in "schwarzen Löchern" sondern auch in Lasern immer im Kreis....? :freak:

Grüße,

Undine
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon Matthias1 » Do 19 Jun, 2014 9:02 pm

Hallo Undine,

habe jetzt endlich die Zeit gefunden deine Antwort(en) intensiv durchzulesen. Sehr interessant, besonders überrascht hat mich die Rotation der Strahlung bei Rotationssymmetrie. Außerdem war spannend, dass die einzelnen Feldstärkeverteilungen innerhalb der Moden unterschiedliche Wellenlängen haben. Alles in Allem ein sehr interessanter Text, der meinen Horizont wieder ein bisschen erweitert hat. Danke!



Vielen Dank und viele Grüße :D
Matthias1
 
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Re: Transversale Lasermoden - Entstehung?

Beitragvon undineSpektrum » Do 19 Jun, 2014 10:37 pm

Hallo Matthias,

dass jede Mode ihre Wellenlänge hat das muss ja so sein, sonst wäre sie ja nicht unterscheidbar von allen anderen. Beachte die vielen kleinen "Peaks" neben den longitudinalen Moden auf dem Oszilloskopschirm in dem MIT-Video - das sind die viel dichter beieinanderliegenden Wellenlängen der TEM´s ... :freak:
Alternativ kann ja auch mit den Quantenzahlen n, p und l argumentiert werden. n ist die Quantenzahl für die longitudinalen Moden entlang der Rohrachse. n liegt beim Helium-Neon-Laser bei Werten wie z.B. n= 1580277, denke an n*(Wellenlänge/2)... das entspricht einer Resonatorlänge von genau einem halben Meter. :wink:
Die Quantenzahlen verschiedener Moden müssen sich unterscheiden, wenn die Modenstruktur unterschiedlich aussieht.
Das gilt beim Laserlicht wie bei Elektronen im Atomen und Molekülen, sowie in Eigenschwingungen von Hohlräumen und Musikinstrumenten.
Und die zick-zack-Läufe oder Spiralwege welche die Lichtwellen durchlaufen erlauben dass unterschiedliche Wellenlängen auf den Resonator passen - die geometrisch-optischen Ausbreitungsrichtungen vergrößern somit ja die optische Weglänge... :wink:

Unterschiedliche Quantenzahlen und unterschiedliche Wellenlängen in den Raumrichtungen in denen sich das Licht oder die Welle bewegt sind formal das gestaltbildende Element des Lichtes ebenso wie der auch im Fall von Schall.
Als kleines Off-Topic hierzu bekommt dieser sehr trocken klingende Vergleich sofort "Leben", wenn man sich die Wellenlängen wie in der Akustik oder der Musik als "Töne" einer "Tonleiter" vorstellt. :D
Die charakteristische Eigenschaft den eine Mode ( bedenke mal was das Wort im Alltag bedeutet...) bekommt, ist also durch ihre Wellenlängen oder Quantenzahlen. Weniger formal gesagt: Durch ihren Ton... Tonus heißt lateinisch auch "Spannung" ...
Wenn Du die Worte "durch den Ton" lateinisch übersetzt steht da "per sonare" -> Der Ausdruck der Persönlichkeit ( auch eines Menschen kommt davon ... ) :freak:
Also ist jetzt - weniger mathematisch formal ausgedrückt - eine Mode durch ihre "Persönlichlkeit" -> durch ihren Ton = Frequenz/Wellenlängen /Quantenzahlen bestimmt? :D

Grüße,

Undine
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