Hallo zusammen,
Hallo und guten Morgen Matthias,
also dann:
Ich habe mir die Methode nochmals angeschaut und möchte jetzt im Folgenden für beide Methoden der Berechnung jeweils einen Ansatz beschreiben / vorstellen, der zumindest den Weg weisen kann und dessen Ergebnisse "größenordnungsmäßig" übereinstimmen.
Dabei ist das Modenvolumen nach der "Fresnelschen Methode" etwa viermal kleiner als nach der quantisierten "p-l-Methode".
Dass eine Abweichung hier entstehen muss ist völlig klar, denn beide Verfahren gehen von völlig unterschiedlichen Voraussetzungen aus und berechnen
Näherungswerte für das Modenvolumen und stellen somit ein theoretisches "Schätzeisen" für diese Größe ( wie so oft in der Physik ) dar.
Etwas anderes ist mit der Aufgabe auch nicht gewollt, als zu zeigen, dass die Berechnung des Modenvolumens (also der Wechselwirkungszone von Lichtwelle und aktivem Medium ) eine theoretische Herausforderung ist - und das schon unter der Bedingung, dass alle räumlich nichtlinearen Effekte der Licht-Material-Wechselwirkung in diesem Bereich durch ortsabhängige Inversionen z.B. ausgeschlossen werden.
Beide Berechnungen des Modenvolumens laufen auf die Bestimmung dieser Größe aus einem Rotationskörperproblem hinaus, der von dem Strahlradius ( der unter unterschiedlichen Annahmen für beide Lösungen berechnet wird ) als definierte Funktion innerhalb des aktiven Materials das Modenvolumen begrenzt.
Ich nehme bei der Diskussion bezug auf einen Aufbau eines Lasers wie in der weiter oben schon vorgestellten Rechnung, die ich hiermit nochmals wiedergebe:
Resonator mit Rohr.jpg
Die entsprechenden Größen die in der Argumentation jetzt verwendet werden beziehen sich also auf diese Zeichnung hier. (Siehe oben)
Das eine Modenvolumenberechnung ein einfaches Rotationskörperproblem darstellt ergibt sich aus der Radialsymmetrie des Aufbaus um die Resonatorachse und auch aus der Beschreibung des Laserprozesses als Licht-Material-Wechselwirkung z.b. als Photonendichte N(t)*Inversionsdichte sigma(t) im Rahmen der Bilanzgleichungen ( N(t) ist dem Betragsquadrat der Feldstärke der Wellenfeldes des Laserlichtes proportional ) . Das Modenvolumen ist der "Durchschnitt" im Sinne von "Schnittmenge" (E(t)²*sigma(t)
) der Strahlungsfeldgröße und der Inversion die über das gesamte Material als homogen angenommen wird - um das Problem sehr zu vereinfachen. Dieser Rotationskörper ist dann in der folgenden Handzeichnung dargestellt:
Modenvolumen als Rotationskörper.jpg
Das Modenvolumen stellt nach dieser Annahme schon eine Näherung dar, weil alle Bereiche ausserhalb des Strahlradius w(z) als begrenzende Funktion mit Null angenommen werden und innerhalb der Begrenzungsfläche eine gleichmäßige Energiedichte angenommen wird. Dass diese mit der Wellenlänge -> stehende Welle schwankt wird bei dieser Betrachtung vernachlässigt.
Soweit die Voraussetzungen, damit wir wissen worüber wir hier schreiben.
Zuerst die Berechnung nach der quantisierten p-l-Methode:
Da die höheren Moden - durch den M-Parameter beschrieben - höhere Strahlradien w aufweisen ( äußerer Wendepunkt der Bestrahlungsstärke der TEM-Moden ist der Strahlradius !) und der größte Strahlradius im aktiven Medium laut Skizze oben auf dem rechten Rohrende des aktiven Mediums liegt sowie des Weiteren für einen gesuchten "höchsten Mode" mit erträglichen Verlusten die Modenverteilung ihren äußeren Wendepunkt ( also den Strahlradius ) maximal an diesem Rand des Rohres in der Entfernung des halben Durchmessers d/2 von der Achse haben soll, ist der folgende Berechnungsansatz zur Bestimmung des unbekannten M-Parameters gerechtfertigt:
FORMELPL.jpg
Der unbekannte M-Parameter berechnet sich als reelle Zahl durch die algebraische Umformung nach genau dieser Formel:
Formel2.jpg
Einsetzen der Werte ergibt einen M-Parameter als reelle Zahl von 4,450373839.... usw.
Lasermoden sind aber ein quantisiertes Problem, d.h. also durch ganzzahlige Verhältnisse bestimmt. Zur Erklärung verweise ich auf meinen Beitrag zur Entstehung dieser Moden hier :
http://laserfreak.net/forum/viewtopic.php?f=182&t=55627
Aus dieser Erklärung geht auch hervor, dass die hier diskutierten kreissymmetrischen transversalen Moden nicht von einer sondern von zwei Quantenzahlen, der Hauptquantenzahl p und der optischen Drehimpulsquantenzahl l (ich nenne sie jetzt mal so -> Quantenmechanik ! ) abhängen.
Folglich ist der M-Parameter durch ganze Zahlen bestimmt, was aber nicht heißt das dieser ganzzahlig
ist! ( Gegenbeispiel: (1+2+3)^(1/2)
)
Ein einfaches Abrunden auf eine ganzzahligen Wert ist bei mehreren Quantenzahlen
nicht gestattet - eine wichtige Fehlerquelle!
Abgerundet werden muss vielmehr auf einen zwar diskreten M-Parameter, die in der Tat gequantelt sind, wenngleich hier nur bestimmte, reelle Werte auftreten, die nicht ganzzahlig sein müssen ( deshalb sind mehrdimensionale mechanische Schwinger auch meistens Perkussionsintrumente in der Musik, die rhytmische Gestaltungsaufgaben haben und keine melodischen ... wegen des "schrägen und vielfältigen" Obertonspektrums! -> grosse Anzahlen irrationaler Frequenzverhältnisse in Folge mehrerer Quantenzahlen für stehende Wellen...
)
Zudem gibt es hier für den "höchsten Lasermode" mit dem äußeren Verteilungswendepunkt auf dem Rand den linken Rohrendes mehrere Möglichkeiten - die Lösung ist uneindeutig, es gibt viele Moden, die dies erfüllen.
Durch "Probieren" (als einfachste Methode zur Lösung) errechnet sich aber, dass alle Moden mit den Quantenzahlen p und l als höchste Moden in Frage kommen für die zwischen l und p der Zusammenhang l=18-2*p gilt.
Formel3.jpg
Der M-Parameter aller dieser höchsten Moden beträgt M=(19)^(1/2), wie aus der Definition des M-Parameters aus den Quantenzahlen p und l hervorgeht. Das entspricht einer Anzahl von genau 10 definierten TEM-Moden als mögliche, höchste Moden, die wie folgt aussehen:
MODENBIL.jpg
Trägt man diese möglichen Tupel von Quantenzahlen (Tupel=Paare) in einem Diagramm der Quantenzahlen p als Funktion von l auf so liegen diese Punkte alle auf einer fallenden Graden mit der Gleichung l(p)=18-2*p ( Geradengleichung : y(x)=b+m*x !
) :
M-PARAME.jpg
Das ist grundsätzlich wichtig, denn der Wert für M wird auf die Quadratwurzel aus der Zahl 19 abgerundet! -> Quantierungsfehler. Der Wert liegt bei etwa 4,35 anstatt bei den für M erhaltenen etwa 4,45.
Jetzt kann der Strahlradius am linken Rohrende berechnet werden, der M-Parameter liegt ja jetzt durch diese Überlegungen fest:
SRAD.jpg
Einsetzen der Werte aus der Aufgabenstellung führt auf einen Strahlradius von etwa 0.0113 m, also 1,13 cm. (Das ist ein CO2-Laser!)
Hierdurch ist jetzt der Verlauf der gesamten, das Modenvolumen begrenzenden Funktion w(z) des Rotationskörperproblems bekannt. Die Berechnung des Rotationskörpers erfolgt - wie auf der Oberstufe im Rahmen der Integralrechnung erlernt - durch Integration des Quadrates der begrenzenden Funktion entlang der z-Achse zwischen einem Anfangs- und Endwert. Das ist jetzt reine Mathematik, die nichts mit Lasertechnik u.ä. mehr zu tun hat. -> Berechnung eines Rotationskörpers / Keplersche Fassregel u.ä.
Für diesen Fall des Modenvolumens ergibt sich dann folgende Integration zur Bestimmung des Volumens des Rotationskörpers der von dem Strahlradius begrenzt wird:
Formel5.jpg
Die Integrationsgrenzen werden durch die in dem Resonator auftretenden Abstände der Rohrenden von den beiden Spiegeln, der Länge des Rohres und der Resonatorlänge insgesamt bestimmt. -> Skizze zu Beginn ganz oben!
Da dieses Integral ja - wie gezeigt - eine analytisch und geschlossen exakte lösbare Stammfunktion besitzt und man durch Einsetzen der Integrationsgrenzen eine definierte Endformel erhält werden die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung zur Bestimmung des Modenvolumens eingesetzt. Ausrechnen mit dem Taschenrechner ergibt dann einen Wert von 0,0004447 m³. Das Modenvolumen entspricht also - anschaulicher - einem Würfel mit der Kantenlänge von 0,0004447 ^1/3 *m=0.076 m also 7,6 cm.
So weit, so gut erstmal zur p-l-Methode.
Alternativrechnung mit der Fresnelzahl:
Diese Rechnung ist viel einfacher, da sie den Resonator jetzt als Beugungsanordnung für die Lichtwellen des Laserstrahles betrachtet und sich auf die erste Fresnelzone beschränkt. Das wird grob durch einen Parameter N, der Fresnelzahl heißt beschrieben. Er bestimmt, welchen Einfluss die Beugung auf die Lichtausbreitung hat. Da für einen Laser an einer Blende in Folge der Ausdehung des Wellenfeldes durch Beugung die Verluste möglichst klein sein sollen, ist eine verlustarme Anordnung durch eine solche Anordnung gegeben,deren Fresnelzahl nahe bei 1 liegt.
Das ist der Berechnungsansatz - dies ist eine sehr grobe und einfache Methode, sie muss andere Ergebnisse bringen als das vorherige Ergebnis.
Die Definition der Fresnelzahl N in dem abgebildeten Resonator ist gegeben durch den Blendenradius a ( der rechte Rohrdurchmesser wird als Blende vor dem Spiegel intepretiert !
) , L ist die Resonatorlänge ( oder aber der Spiegel mit dem
Krümmungsradius R, je nach Annahme ), die Wellenlänge ist eine feste Lasereinschaft.
Aus dieser Fresnelzahl kann jetzt die Strahltaille als "Größe der Lichtquelle" errechnet werden:
Fresnel1.jpg
Da Radien positive Größen sind gilt selbstverständlich nur die positive Lösung für den Stahlradius, die andere Lösung wird vereinfachend als "unphysikalisch" interpretiert...
Achtung : Mit dieser Rechnung oben habe ich jetzt das Fresnelsche Beugungsproblem dieser Anordnung in die bekannte Theorie der Gaußstrahlen übertragen... das kann wegen des Planspiegels zu Abweichungen in den Ergebnissen zur vorherigen Betrachtung (p-l-Methode) führen!
Für den Strahlradius w(z) als begrenzende Funktion des Modenvolumens entsteht dann nach der Theorie des Gaußstrahles:
STRAHLRA.jpg
Das Modenvolumen ist wieder das Volumen des durch diese Funktion begrenzten Rotationskörpers innerhalb der Grenzen des Rohres als aktives Medium ( siehe Zeichnung zu Beginn ! )
Das Integral läßt sich wieder ebenso analytisch und geschlossen exakt auswerten:
ModVol.jpg
Einsetzen der Zahlwerte aus der Aufgabenstellung ( siehe weiter vorne im Thread!) ergibt dann für das Modenvolumen den etwa viermal kleineren Wert von 0,0000525m³, also einen Würfel mit der Kantenlänge 0,0000525^(1/3)= 0.037 m= 3,7 cm.
Der Grund für die Abweichungen durch die unter verschiedenen Annahmen gemachten Rechungen kann aus den erhaltenen Zahlen nur geschätzt werden. Ein Grund hierfür wird sicher sein, dass die Verwendung der Fresnelzahl N=1 von einer punktförmigen Quelle im Mittelpunkt der Spiegelkugel als Strahlquelle ausgeht. Das ist die Annahme die sich hinter dieser Rechnung "verbirgt". Real ist aber, das die Strahltaille nicht nur viel dichter am rechten Ende des Mediums / Rohres liegt und zudem auch eine endliche Breite (Wellenoptik / Unschärferelation!) hat und so das Modenvolumen doch größer ist als im Fall des viel schmäleren Strahles im Fall der Annahme durch eine Punktquelle im Abstand R.
Selbst wenn die Punktquelle auf den planen Resonatorspiegel gelegt wird, ist das Modenvolumen immer noch kleiner als in der wellenoptischen Betrachtung mit Strahltaillen endlicher Breite, bedingt durch die endliche Größe der benutzten Lichtwellenlänge. Das ist ganz klar, oder?
Dass dieses Ergebnis zu erwarten ist und auch so sein muss wie errechnet ist daraus rein formal klar - um es zu verstehen und zu verinnerlichen ist aber das räumliche Vorstellungsvermögen ( Modenvolumen unterschiedlich breiter und langer Strahlkegel ! ) gefordert.
Zu der Bemerkung des Prof´s noch :
Das die p-l-Methode empfehlenswert ist wenn Planspiegel involviert sind ist grundsätzlich eine richtige Feststellung - bei dieser Aufgabe ist das der Fall. Er sagt damit nichts anders als ich eben.
Pädagogisch hat der Kollege damit aber viele Missverständnisse produziert, denn bei einem Planspiegel als Resonatorspiegel stellen sich sofort wieder neue Fragen, was die TEM-Modenstruktur angeht - Rechteck oder Kreissymmetrie?
Dennoch lassen sich die M-Parameter einfach durch den Abstand der Spiegelränder festlegen, wobei die obige künstlich von mir erhobene Frage dann mit der Form des Spiegelrandes (runder Spiegel / rechteckiger Spiegel) beantwortet wird.
"Planspiegel involviert" sind in diesem Aufbau allerdings auch. Das zeigt sich auch daran, dass hier erhebliche Abweichungen im Modenvolumen von geometrischer Optik bei N=1 (!) zur Wellenoptik auftreten. Das ist allerdings auch bei einem konfokalen Resonator im Bereich der Stahltaille genauso: Das Modenvolumen müßte ja dann bei großen Rayleigh-Längen und geringen Strahlneigungen in der geometrischen Optik verschwinden oder sehr klein werden. In der Wellenoptik ganz anders, dort unterschreitet das Modenvolumen im Rayleigh-Bereich eine bestimmte Größe niemals -> Unschärferelation... Auch hier ist wieder die Quantenmechanik am Werk...!
@Matthias:
Konnte diese Erklärung die Aufgabe lösen und zumindest erklären wie Du rechnen musst / kannst? Du weisst ja: Viele Wege führen nach "Rom"...
( Ja, ich weiss, der Spruch einer alternden Physikerin ...
)
@ alle andern hier:
Entschuldigt meine "Sauklaue" (Rechtschreibung) und meine Weitschweifigkeit (heisst das überhaupt so ?) in dem semantischen Netzwerk dieser Frage...
Grüße meiner jetzt sonnigen Heimatstadt,
Undine
P.S.: Als Quellenangabe für das erste Bild dieses Beitrages verweise ich auf die AG Lasertechnik des Institutes für Materialwissenschaft und Werkstofftechnologie der Universität Jena.
Die Wiedergabe dieses Auszuges aus dem Lehrmaterial findet hier zu Zwecken der Forschung und Lehre und der Ausbildung statt und ist aus diesem Grund nach dem geltende Urheberrechtsgesetz zulässig. Vielen Dank für die Bereitstellung dieser Materialien.