Modenvolumen berechnen

Physikalische Grundlagen, Information und Fragen zu Lasern.

Moderator: ekkard

Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » Fr 16 Mai, 2014 10:42 pm

:o Hallo alle miteinander,

ich habe folgendes Problem:

Für die Bestimmung des höchst möglichen Lasermode (transversal) gibt es folgende Beziehung.

Wpl=W0*Wurzel(2p+l+l)=M*W0

wobei W0=Taillenradius Gaußmode, p/l = Transversalmode (Rotationsgeometrie) und M die Wurzel aus der Beugungsmaßzahl M^2 ist.

Ich habe also einen Resonator gegeben mit einem aktiven Medium und soll nun den höchst möglichen Mode berechnen. Ich könnte nun mit dem Durchmesser des aktiven Mediums die Beugungsmaßzahl ausrechnen und somit den höchst möglichen Mode berechnen (ohne dabei zu wissen um welchen Mode es sich handelt, ich rechne lediglich den radius des höchsten aus) oder ich nehme einfach den Radius des AM als höchst möglichen Mode und setze für p und l immer größer werdende Werte ein, bis ich grade noch kleiner als der Radius dem AM bin (dann wüsste ich den Radius und auch welcher Mode es ist).
Mein Problem ist nun, dass wenn ich es über die Beugungsmaßzahl berechne etwas anderes für den Radius des höchsten Mode rauskommt als wenn ich es wie formuliert über p und l berechne.


Hoffe mir kann jemand helfen!

Danke!
Matthias1
 
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » So 18 Mai, 2014 12:22 am

Hallo Matthias,

schön Dich wieder zu lesen mit einer Frage zur Laserphysik... :)

Grundsätzlich erstmal zum "Durchmesseransatz":
Das Ergebnis muss so sein wie Du es beschreibst - zumindest sehe ich das so.
Das begründet sich darin, dass die sich ergebende Formel für den Durchmesser in transversaler Richtung mehrere Unbekannte enthält - die umgestellte Bestimmungsgleichung lautet ja dann (d^2/(4*w[0]^2))=2*p+l+L(1) .... also so etwas wie 36 = x+y+z ...
Das hat zwar ganz bestimmte, sinnvolle Lösungen, die ja durch "Probieren" gefunden werden können, nur welche das ist lässt sich allgemein ohne weitere Nebenbedingungen ( z.B. in Form einer zusätzlichen Gleichung ) nicht eindeutig lösen... ( 36 ist ja doch außer 10+20+6 auch 5+30+1 oder aber 7+9+20 sowie 8+8+20, und,und,und.... oder? ) :wink:
Dieses Problem ist in der Physik allgemein gegenwärtig ( Moden eine Hohlraumes in der Akustik, in der Kristallographie (h-k-l-Indizes), usw.... )
Wenn jemand das anders sieht würde ich mich ( und auch Matthias1 sicherlich ) die Lösung sehr interessieren... :)
Ich denke auf dieser Ebene ist dem Problem nicht beizukommen... weshalb ich den Ansatz "Berechnung aus dem Durchmesser des Mediums" in der geschilderten Form verwerfen und es anders versuchen würde.
Dabei hilft aber der Radius des aktiven Materials grundsätzlich.

"Probieransatz" :

Das Modenvolumen eines Lasers ist ja - das ist Dir sicher klar - die Schnittmenge der Verteilung des Strahlungsfeldes im Resonator mit der Inversionsverteilung in dem aktiven Material. Die Inversionsverteilung sei über das gesamte Medium mit dem Radius 2*d verteilt - der einfachheit halber... o.k.? :)
Dann ist das Modenvolumen also Inversiondichte * Energiedichteverteilung des Strahlungsfeldes - wenn Du nach dem einfachsten Modell das Strahlungsfeld Darstellungsfrei durch Bilanzgleichungen der Photonendichte n und das Material durch die Inversionsdichte sigma beschreibst. n ist durch das Quadrat der elektrischen Feldstärke E² bestimmt - dies sind die in verschiedener Literatur gegebenen Feldverteilungen in Abhängigkeit von den Quantenzahlen q und l.
( Die richtige Formel heißt überigens M= (2*q+l+1)^(1/2) :wink: )
Als Strahldurchmesser eines beliebigen TEM-ql ist dabei nach verschiedenen Kriterien bestimmt - der wichtigste ist der Durchmesser als der Bereich in dem sich 86,4% der Gesamtstrahlungsleistung befinden... 100% sind ja in´s "Unendliche" verteilt...
-> Bestimmung durch radiale Integration des Quadrates der Feldverteilung E²(r,phi) ... und r=w(z)[q,l] ist dann bei 86,4% davon... das kannst Du für jeden Punkt dann innerhalb des Mediums aus Strahlradienformel w(z) = usw.... berechnen .... und bekommst Dein Modenvolumen für eine bestimmte Mode mit der Quantenzahl p=... und l= ...
Wenn Du es nicht verstanden hast nochmal fragen... :wink:

Eine andere Definition des Strahlradius hilft vielleicht auch weiter : Der Strahlradius eines beliebigen Modes q,l liegt immer da, wo ( von außen ) der erste Wendepunkt der Feldverteilung oder der Intensitätsverteilung ( je nach Modell ) liegt. Diese Stelle musst Du mit Hilfe einer Kurvendiskussion aus der Intensitätsverteilung der Moden für die Fälle berechnen und auf die Stelle legen, wo der Rand des aktiven Mediums auf der Spiegeloberfläche liegt... alles weitere dann wie oben beschrieben...

Du sieht schon : Die Berechnung eines Modenvolumens ist nicht trivial und eigentlich nur im Spezialfall sinnvoll anzugeben. Ein "Rechenbeispiel aus der Praxis" zur Berechung von Strahldaten füge ich mal als Bild hier an - vielleicht hilft es ja weiter. :)
Gerne rechne auch einen der oben diskutierten Fälle als Hilfestellung vor - wenn Du meinst es hilft weiter...
Hier eine kleine Übersicht zur Berechnung von Strahlparametern von Moden höherer Ordnung:

Strahlparameter UniJena.jpg


Bedenke : Hier werden erstmal bestimmte q und l angenommen - entspricht also Deiner "Probierrechnung"...
Danke auch an die AG Lasertechnik der Universität Jena von denen diese Beispielrechnung stammt - ich gebe diese hier zu Lehr- und Ausbildungszwecken wieder - trotzdem vielen Dank!

@ Matthias1 : Konnte ich damit erstmal weiterhelfen? Ansonsten frag einfach ... Entschuldige bitte meine Weitschweifigkeit und meine grausige Rechtschreibung... :oops:

Grüße und viel Erfolg erstmal,

Undine
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » So 18 Mai, 2014 12:46 am

Hallo UndineSpektrum,

das ist ja der Wahnsinn... Genau das habe ich gesucht :)

Danke dir vielmals!
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » So 18 Mai, 2014 1:13 am

Hallo Undinespektrum,

ich fange mal an mit dem was ich verstehe. Jeder höhere Mode hat einen größeren Radius schon klar... Ich berechne nun an den Stellen des Rohres den Strahlradius, soweit so gut. Das rechte Rohrende ist entscheidend, da es größer ist, das ist mir auch noch klar.
Wie kommt man aber auf die Beugungsmaßzahl? Wenn ich sie über die Fresnelzahl berechne komme ich auf M^2=3,38 und nicht auf 4.

Das eigentliche Problem war aber, ob ich nun über die Beugungsmaßzahl den höchsten Mode berechne oder über die Wurzel(pl..) bzw. pl^1/2 :D Formel. Es kommt ja bei beiden etwas unterschiedliches raus...

Danke schonmal du Profi! :D

Grüße
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » So 18 Mai, 2014 2:02 am

Hi,

ich wundere mich immer über die Bezeichnung "Beugungsmaßzahl" für den M-Parameter.... hat das einen besonderen Grund?
Das M ist ja nur eine Zahl welche den Strahlradius w[0] oder w(z) etwas korrigiert für Modenverteilungen die nicht TEM00 sind.
Stimmt - die Fresnelschen Beugungsverluste sind bei höheren Moden größer, weil mehr Maxima aus dem Stab oder Rohr ( Festkörper- oder Gaslaser - je nach dem ) herausragen. So ist es doch - oder? Schau Dir doch mal die TEM-Verteilungen an - aber ich denke das weisst Du ja.

Diese Zahl M ( M-Parameter und Beugungsmaßzahl ) lässt sich leider aus dem Durchmesser nicht errechnen - da sind wir uns denke ich wegen der Mehrdeutigkeit für die "Quantenzahlen" q,l einig.
Andererseits kannst Du mit Hilfe der gegebenen Symmetrie des Rohres oder Stabes bzw. der Laserspiegel verschiedene Moden angeben die möglich sind - das ist eine Aufzählung wie die Kugeln bei den Lottozahlen. Sie sagen nichts darüber aus ob der Mode auftritt oder nicht...

Der höchstmögliche Mode ist doch der weclher gerade noch in dem Laser anschwingen kann - vereinfachend gesagt also einer, dessen 86,4 % der Strahlungsleistung in den aktiven Material liegen, dessen Inversionsdichte gleichmäßig verteilt angenommen wird.
Diese Annahme ist in der Realität nicht (immer) passend aber sie gibt ein Kriterium an mit dem Du arbeiten kannst.
Jetzt musst Du anhand des Kurvenverlaufes der Feldstärke ( halbklassische Lasertheorie ) oder der Intensität (E² prportional der Photonendichte n ) (darstellungsfreie Bilanzgleichungen) eine Mode durch "Probieren" suchen die dieses Kriterium bei festem q und l gerade noch erfüllt - deren Integral also innerhalb des Durchmessers d=2*r 0.864*Integralwert im unendlichen oder aber mehr ergibt ergibt ...

Das währe ein Lösungsweg um dahinterzukommen...
Es hilft aber sicher schon der einfache Weg den Du gegangen bist... q,l "realistisch" vorwählen und dann testen wie groß w(z) oder w[0] (Hemifokaler Resonator -> da ist w[0] auf dem einen Spiegel im Verhältnis zum halben Durchmesser (Radius) ist. Kommt ein Wert für nahe 1 raus hast Du die "Quantenzahlen" q,l gefunden die passen.
Beispiel: q=3,l=4 -> w[0]=0.997*(d[Medium]/2) q=4,l=4 -> w[0]=1,001*(d[Medium]/2) ... also ist der erste Wert der scheinbar richtige... das musst Du ausprobieren.
Es können mehrere Lösungen möglich sein. Ausschlaggebend ist aber immer die Quantenzahl für den Radius q...

So ungefähr klar?

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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » So 18 Mai, 2014 2:02 am

Hallo,

ok bin das grade nochmal durchgegangen also für die Beugungsmaßzahl kommt 4,33 raus und da wird dann einfach abgerundet okay.

Was bleibt ist die Frage warum für Formel pl was anderes rauskommt als größtmöglicher Strahlradius als wie wenn ich es über die Beugungsmaßzahl berechne...



Grüße
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » So 18 Mai, 2014 2:19 am

Also,

warum etwas anders herauskommt ( stellt sich die Frage : Wie anders...? Was hast Du denn da rausbekommen ? ) kann mit der Mehrdeutigkeit der Lösung - wenn nicht mit einem Rechenfehler - zu tun haben.
Das schilderte ich oben eigentlich schon. :wink:

Hast Du ein CAS ( Maple / Mathematica ) zur Verfügung? -

Eine häufige Fehlerquelle sind falsche Einheiten - das weiss ich aus der Betreuung von Schülern und Studenten zu gut - also Watt statt Milliwatt gerechnet o.ä. die Zahlwerte ergeben dann oft unmögliches bis zum Perpetuum Mobile .... :D

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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » So 18 Mai, 2014 7:39 am

Guten Morgen,

also erstmal Danke für deine Antworten. Das mit den Einheiten passt, ich rechne immer mit Zehnerpotenzen. Was du mir geschildert hast ist mir bereits bekannt und bringt mich jdementsprechend nicht weiter. ich vermute du verstehst nicht ganz was mir unklar ist.
Ich werde nun einmal die Aufgabe über die 2 verschiedenen Wege vorrechnen.

Über PL-Formel:

(2,54*10^-3)*Wurzel(2*P+L+1) < 1,1*10^-3

Für P=5 und L=7 kommt 10,7mm raus passt also gerade noch rein der TEM57 oder aber der TEM65 der den gleichen Radius an der Stelle des rechten Endes des Gasrohres hat. Ich komme also mit der Formel darauf, dass der höchste Mode an der Stelle des rechten Endes des Gasrohres einen Radius von 10,7mm hat.


Über M:

(11*10^-3)/(2,54*10^-3) = 4,33

--> M=4
Maximaler Strahlradius:

(2,54*10^-3)*4=10,16mm


Es kommen also je nachdem überwelchen Weg man es rechnet unterschiedliche Dinge heraus...



Viele Grüße
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » So 18 Mai, 2014 7:43 am

Guten Morgen,

also erstmal Danke für deine Antworten. Das mit den Einheiten passt, ich rechne immer mit Zehnerpotenzen. Was du mir geschildert hast ist mir bereits bekannt und bringt mich jdementsprechend nicht weiter. ich vermute du verstehst nicht ganz was mir unklar ist.
Ich werde nun einmal die Aufgabe über die 2 verschiedenen Wege vorrechnen.

Über PL-Formel:

(2,54*10^-3)*Wurzel(2*P+L+1) < 11*10^-3

Für P=5 und L=7 kommt 10,7mm raus passt also gerade noch rein der TEM57 oder aber der TEM65 der den gleichen Radius an der Stelle des rechten Endes des Gasrohres hat. Ich komme also mit der Formel darauf, dass der höchste Mode an der Stelle des rechten Endes des Gasrohres einen Radius von 10,7mm hat.


Über M:

(11*10^-3)/(2,54*10^-3) = 4,33

--> M=4
Maximaler Strahlradius:

(2,54*10^-3)*4=10,16mm


Es kommen also je nachdem überwelchen Weg man es rechnet unterschiedliche Dinge heraus...
Ich sehe das so, dass ich über M den maximal möglichen Radius ausrechne, obwohl es dafür keinen passenden ganzzahligen TEM mode gibt (habe auch noch nie was von halben Moden gehört). Somit wäre jedoch die Lösung eigentlich falsch, da es eben keine halben Modenzahlen gibt??

ps: warum wird das M einfach abgerundet?

Viele Grüße
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » So 18 Mai, 2014 6:45 pm

Hallo,

ich denke ich habe das schon verstanden, das Du wissen willst woher der Fehler hier stammen (könnte) ... und das versuche ich ja schon sukzessive einzukreisen...
Das ist hinreichend kompliziert, denn hinter den Formel stehen - wie Du weisst - Denkansätze, die verstanden sein sollten - finde ich zumindest. Dann wird klar woher abweichungen stammen könnten. Es ist eine Frage der Wissenschaftstheorie ( Wie gewinne ich Erkenntnis ... ? ) ... verstehst Du? :)

Also:

hast Du zwischen dem Spiegelradius a ( Radius senkrecht zur Achse -> Fresnelzahl ) und dem Krümmungsradius R des Spiegels unterschieden ? ... Das ist eine häufige Fehlerquelle... :mrgreen:

Zudem beschreibt die Fresnelzahl N = a²/(L*Wellenlänge) im Detail etwas anderes -> Fresnelsche Beugung als der M-Parameter... von Lasermoden... M=(2*q+l+1)^(1/2)... die haben so viel miteinander wie Pferde und Kühe... das ist auch beides Nutzvieh...
Ebenso haben wir hier in beiden Fällen ein kreisförmiges Hindernis an dem Verluste auftreten... und dafür ist die Übereinstimmung recht gut... 10,16 mm und 10,7 mm. Fresnelzahlen sind kontinuierliche (reelle Zahlen) , Modenordnungen natürliche Zahlen, also diskrete Größen -> das ist ja ein "Quantisierungsproblem"... da müssen abweichungen auftreten, die vom Modenabstand abhängen?
Wie groß ist denn der in dem Bereich? Wie groß ist der Unterschied im w[0] für verschiedene Moden in diesem Bereich? - Mal nachrechnen und mit den Abweichungen vergleichen...

Rechne doch mal wie viele Modenordnungen dazwischenliegen... vielleicht wird dann deutlicher... :wink:

Hier nochmals ein Auszug zur "Fresnelszahl":

Fresnelzahl und Modenordnung UniJena.jpg


Die Fresnelzahl beschreibt das Verhältnis der Brennweite f einer reflektierenden oder durchsichtigen runden Platte ( das könnte auch ein Laserspiegel sein ) zu einer geometrischen Länge ( z.B. einem Krümmungsradius eines Spiegels ) also einer Größe in Laserphysikalisch longitudinalen Richtung... -> Poisson-Fleck / Fresnelbeugung ... denn das sind die Ansätze die hinter Deinen Rechungen stehen... und dafür ist die Übereinstimmung was ich so sehe schon recht gut. :freak:
Vergleiche mal den Quantisierungsfehler für w[0] in der pl- Methode mit dem Betrag der Differenz zwischen Fresnelzahl - Methode und pl-Methode... das zeigt sehr viel... und erklärt den Fehler... das kannst Du dann sogar ggf. referieren weil es ggf. auch Lernziel dieser Aufgabe sein könnte... :freak:

Soweit erstmal ... also rechne diese Punkte nochmal durch...schlage ich vor... :wink:

Undine
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » Mo 19 Mai, 2014 3:45 pm

Hallo,


Wie oben beschrieben ist die Abweichung nicht besonders groß, soll heißen
--> ich werde einfach meinen Prof. das nächste mal danach fragen, mal gespannt ob er mir das erklären kann.

Aber danke undispektrum!


Grüße
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » Di 20 Mai, 2014 12:49 am

Hallo Matthias,

ja das mach mal... :D

Aber : Interessant für eine Fehleranalyse ist dabei nicht nur die Größe des Fehlers sondern ob sich der Fehler in Bereich des Modenabstandes der TEM-Moden bewegt und sich aus dieser erklären lässt ... darauf wollte ich damit hinaus... :wink:

Allgemein gilt ja : Fragen führen weiter als Antworten - schon deshalb weil eine Frage einen Denk- und Wahrnehmungsvorgang oft vorzeitig schon beenden kann... ( Zitat Joachim Ernst Behrendt aus: "Das dritte Ohr" ) :wink:
Leider kommt das im Studium zu kurz und viele Studierende haben Angst davon zu fragen...

Grüße nach Jena,

Undine
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » Di 20 Mai, 2014 9:17 am

Hallo Undispektrum,

genau so ist es, denn Professoren wollen ja immer auf alles eine Antwort haben. Wenn ich da was frage wo sie/er selber nicht weiss fühlt sie/er sich vielleicht angegriffen... Ich werde seine Antwort aber hier posten, sobald ich sie habe.


Grüße
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » Mo 02 Jun, 2014 6:05 pm

Hallo,

so die Antwort des Professors war: "Wenn ein Planspiegel involviert ist, dann einfach über M".
Na super, aber da sieht man mal wieder, die wissen au nicht alles :D


Grüße
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » Mo 02 Jun, 2014 6:23 pm

Hi,

kenne Ihn ja... er ist manchmal unschlagbar mit seinen knappen Antworten ... :lol:

Sieht also so aus als ob ich nachrechnen muss ... oder wie seh´ ich das... ? :)

Grüße in die Stadt der Optik,

Undine
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » Mo 02 Jun, 2014 9:04 pm

Hallo UndineSpektrum,

das sehe ich genau so :D


Grüße
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » Fr 06 Jun, 2014 8:20 am

Hallo zusammen,
Hallo und guten Morgen Matthias, :)

also dann:

Ich habe mir die Methode nochmals angeschaut und möchte jetzt im Folgenden für beide Methoden der Berechnung jeweils einen Ansatz beschreiben / vorstellen, der zumindest den Weg weisen kann und dessen Ergebnisse "größenordnungsmäßig" übereinstimmen.
Dabei ist das Modenvolumen nach der "Fresnelschen Methode" etwa viermal kleiner als nach der quantisierten "p-l-Methode".
Dass eine Abweichung hier entstehen muss ist völlig klar, denn beide Verfahren gehen von völlig unterschiedlichen Voraussetzungen aus und berechnen Näherungswerte für das Modenvolumen und stellen somit ein theoretisches "Schätzeisen" für diese Größe ( wie so oft in der Physik ) dar. :wink:
Etwas anderes ist mit der Aufgabe auch nicht gewollt, als zu zeigen, dass die Berechnung des Modenvolumens (also der Wechselwirkungszone von Lichtwelle und aktivem Medium ) eine theoretische Herausforderung ist - und das schon unter der Bedingung, dass alle räumlich nichtlinearen Effekte der Licht-Material-Wechselwirkung in diesem Bereich durch ortsabhängige Inversionen z.B. ausgeschlossen werden.

Beide Berechnungen des Modenvolumens laufen auf die Bestimmung dieser Größe aus einem Rotationskörperproblem hinaus, der von dem Strahlradius ( der unter unterschiedlichen Annahmen für beide Lösungen berechnet wird ) als definierte Funktion innerhalb des aktiven Materials das Modenvolumen begrenzt.
Ich nehme bei der Diskussion bezug auf einen Aufbau eines Lasers wie in der weiter oben schon vorgestellten Rechnung, die ich hiermit nochmals wiedergebe:
Resonator mit Rohr.jpg

Die entsprechenden Größen die in der Argumentation jetzt verwendet werden beziehen sich also auf diese Zeichnung hier. (Siehe oben)
Das eine Modenvolumenberechnung ein einfaches Rotationskörperproblem darstellt ergibt sich aus der Radialsymmetrie des Aufbaus um die Resonatorachse und auch aus der Beschreibung des Laserprozesses als Licht-Material-Wechselwirkung z.b. als Photonendichte N(t)*Inversionsdichte sigma(t) im Rahmen der Bilanzgleichungen ( N(t) ist dem Betragsquadrat der Feldstärke der Wellenfeldes des Laserlichtes proportional ) . Das Modenvolumen ist der "Durchschnitt" im Sinne von "Schnittmenge" (E(t)²*sigma(t) :!: ) der Strahlungsfeldgröße und der Inversion die über das gesamte Material als homogen angenommen wird - um das Problem sehr zu vereinfachen. Dieser Rotationskörper ist dann in der folgenden Handzeichnung dargestellt:
Modenvolumen als Rotationskörper.jpg

Das Modenvolumen stellt nach dieser Annahme schon eine Näherung dar, weil alle Bereiche ausserhalb des Strahlradius w(z) als begrenzende Funktion mit Null angenommen werden und innerhalb der Begrenzungsfläche eine gleichmäßige Energiedichte angenommen wird. Dass diese mit der Wellenlänge -> stehende Welle schwankt wird bei dieser Betrachtung vernachlässigt. :wink:
Soweit die Voraussetzungen, damit wir wissen worüber wir hier schreiben.

Zuerst die Berechnung nach der quantisierten p-l-Methode:

Da die höheren Moden - durch den M-Parameter beschrieben - höhere Strahlradien w aufweisen ( äußerer Wendepunkt der Bestrahlungsstärke der TEM-Moden ist der Strahlradius !) und der größte Strahlradius im aktiven Medium laut Skizze oben auf dem rechten Rohrende des aktiven Mediums liegt sowie des Weiteren für einen gesuchten "höchsten Mode" mit erträglichen Verlusten die Modenverteilung ihren äußeren Wendepunkt ( also den Strahlradius ) maximal an diesem Rand des Rohres in der Entfernung des halben Durchmessers d/2 von der Achse haben soll, ist der folgende Berechnungsansatz zur Bestimmung des unbekannten M-Parameters gerechtfertigt:
FORMELPL.jpg

Der unbekannte M-Parameter berechnet sich als reelle Zahl durch die algebraische Umformung nach genau dieser Formel:
Formel2.jpg

Einsetzen der Werte ergibt einen M-Parameter als reelle Zahl von 4,450373839.... usw.
Lasermoden sind aber ein quantisiertes Problem, d.h. also durch ganzzahlige Verhältnisse bestimmt. Zur Erklärung verweise ich auf meinen Beitrag zur Entstehung dieser Moden hier :http://laserfreak.net/forum/viewtopic.php?f=182&t=55627
Aus dieser Erklärung geht auch hervor, dass die hier diskutierten kreissymmetrischen transversalen Moden nicht von einer sondern von zwei Quantenzahlen, der Hauptquantenzahl p und der optischen Drehimpulsquantenzahl l (ich nenne sie jetzt mal so -> Quantenmechanik ! ) abhängen.
Folglich ist der M-Parameter durch ganze Zahlen bestimmt, was aber nicht heißt das dieser ganzzahlig ist! ( Gegenbeispiel: (1+2+3)^(1/2) :!: )
Ein einfaches Abrunden auf eine ganzzahligen Wert ist bei mehreren Quantenzahlen nicht gestattet - eine wichtige Fehlerquelle! :shock:
Abgerundet werden muss vielmehr auf einen zwar diskreten M-Parameter, die in der Tat gequantelt sind, wenngleich hier nur bestimmte, reelle Werte auftreten, die nicht ganzzahlig sein müssen ( deshalb sind mehrdimensionale mechanische Schwinger auch meistens Perkussionsintrumente in der Musik, die rhytmische Gestaltungsaufgaben haben und keine melodischen ... wegen des "schrägen und vielfältigen" Obertonspektrums! -> grosse Anzahlen irrationaler Frequenzverhältnisse in Folge mehrerer Quantenzahlen für stehende Wellen... :wink: )
Zudem gibt es hier für den "höchsten Lasermode" mit dem äußeren Verteilungswendepunkt auf dem Rand den linken Rohrendes mehrere Möglichkeiten - die Lösung ist uneindeutig, es gibt viele Moden, die dies erfüllen. :!: Durch "Probieren" (als einfachste Methode zur Lösung) errechnet sich aber, dass alle Moden mit den Quantenzahlen p und l als höchste Moden in Frage kommen für die zwischen l und p der Zusammenhang l=18-2*p gilt. :freak:
Formel3.jpg

Der M-Parameter aller dieser höchsten Moden beträgt M=(19)^(1/2), wie aus der Definition des M-Parameters aus den Quantenzahlen p und l hervorgeht. Das entspricht einer Anzahl von genau 10 definierten TEM-Moden als mögliche, höchste Moden, die wie folgt aussehen:
MODENBIL.jpg

Trägt man diese möglichen Tupel von Quantenzahlen (Tupel=Paare) in einem Diagramm der Quantenzahlen p als Funktion von l auf so liegen diese Punkte alle auf einer fallenden Graden mit der Gleichung l(p)=18-2*p ( Geradengleichung : y(x)=b+m*x ! :wink: ) :
M-PARAME.jpg

Das ist grundsätzlich wichtig, denn der Wert für M wird auf die Quadratwurzel aus der Zahl 19 abgerundet! -> Quantierungsfehler. Der Wert liegt bei etwa 4,35 anstatt bei den für M erhaltenen etwa 4,45. :freak:
Jetzt kann der Strahlradius am linken Rohrende berechnet werden, der M-Parameter liegt ja jetzt durch diese Überlegungen fest:
SRAD.jpg

Einsetzen der Werte aus der Aufgabenstellung führt auf einen Strahlradius von etwa 0.0113 m, also 1,13 cm. (Das ist ein CO2-Laser!)
Hierdurch ist jetzt der Verlauf der gesamten, das Modenvolumen begrenzenden Funktion w(z) des Rotationskörperproblems bekannt. Die Berechnung des Rotationskörpers erfolgt - wie auf der Oberstufe im Rahmen der Integralrechnung erlernt - durch Integration des Quadrates der begrenzenden Funktion entlang der z-Achse zwischen einem Anfangs- und Endwert. Das ist jetzt reine Mathematik, die nichts mit Lasertechnik u.ä. mehr zu tun hat. -> Berechnung eines Rotationskörpers / Keplersche Fassregel u.ä. :freak:
Für diesen Fall des Modenvolumens ergibt sich dann folgende Integration zur Bestimmung des Volumens des Rotationskörpers der von dem Strahlradius begrenzt wird:
Formel5.jpg

Die Integrationsgrenzen werden durch die in dem Resonator auftretenden Abstände der Rohrenden von den beiden Spiegeln, der Länge des Rohres und der Resonatorlänge insgesamt bestimmt. -> Skizze zu Beginn ganz oben!
Da dieses Integral ja - wie gezeigt - eine analytisch und geschlossen exakte lösbare Stammfunktion besitzt und man durch Einsetzen der Integrationsgrenzen eine definierte Endformel erhält werden die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung zur Bestimmung des Modenvolumens eingesetzt. Ausrechnen mit dem Taschenrechner ergibt dann einen Wert von 0,0004447 m³. Das Modenvolumen entspricht also - anschaulicher - einem Würfel mit der Kantenlänge von 0,0004447 ^1/3 *m=0.076 m also 7,6 cm. :wink:
So weit, so gut erstmal zur p-l-Methode.

Alternativrechnung mit der Fresnelzahl:
Diese Rechnung ist viel einfacher, da sie den Resonator jetzt als Beugungsanordnung für die Lichtwellen des Laserstrahles betrachtet und sich auf die erste Fresnelzone beschränkt. Das wird grob durch einen Parameter N, der Fresnelzahl heißt beschrieben. Er bestimmt, welchen Einfluss die Beugung auf die Lichtausbreitung hat. Da für einen Laser an einer Blende in Folge der Ausdehung des Wellenfeldes durch Beugung die Verluste möglichst klein sein sollen, ist eine verlustarme Anordnung durch eine solche Anordnung gegeben,deren Fresnelzahl nahe bei 1 liegt.
Das ist der Berechnungsansatz - dies ist eine sehr grobe und einfache Methode, sie muss andere Ergebnisse bringen als das vorherige Ergebnis. :wink:
Die Definition der Fresnelzahl N in dem abgebildeten Resonator ist gegeben durch den Blendenradius a ( der rechte Rohrdurchmesser wird als Blende vor dem Spiegel intepretiert ! :freak: ) , L ist die Resonatorlänge ( oder aber der Spiegel mit dem Krümmungsradius R, je nach Annahme ), die Wellenlänge ist eine feste Lasereinschaft.
Aus dieser Fresnelzahl kann jetzt die Strahltaille als "Größe der Lichtquelle" errechnet werden:
Fresnel1.jpg

Da Radien positive Größen sind gilt selbstverständlich nur die positive Lösung für den Stahlradius, die andere Lösung wird vereinfachend als "unphysikalisch" interpretiert... :wink:
Achtung : Mit dieser Rechnung oben habe ich jetzt das Fresnelsche Beugungsproblem dieser Anordnung in die bekannte Theorie der Gaußstrahlen übertragen... das kann wegen des Planspiegels zu Abweichungen in den Ergebnissen zur vorherigen Betrachtung (p-l-Methode) führen!
Für den Strahlradius w(z) als begrenzende Funktion des Modenvolumens entsteht dann nach der Theorie des Gaußstrahles:
STRAHLRA.jpg

Das Modenvolumen ist wieder das Volumen des durch diese Funktion begrenzten Rotationskörpers innerhalb der Grenzen des Rohres als aktives Medium ( siehe Zeichnung zu Beginn ! ) :wink: Das Integral läßt sich wieder ebenso analytisch und geschlossen exakt auswerten:
ModVol.jpg

Einsetzen der Zahlwerte aus der Aufgabenstellung ( siehe weiter vorne im Thread!) ergibt dann für das Modenvolumen den etwa viermal kleineren Wert von 0,0000525m³, also einen Würfel mit der Kantenlänge 0,0000525^(1/3)= 0.037 m= 3,7 cm. :wink:

Der Grund für die Abweichungen durch die unter verschiedenen Annahmen gemachten Rechungen kann aus den erhaltenen Zahlen nur geschätzt werden. Ein Grund hierfür wird sicher sein, dass die Verwendung der Fresnelzahl N=1 von einer punktförmigen Quelle im Mittelpunkt der Spiegelkugel als Strahlquelle ausgeht. Das ist die Annahme die sich hinter dieser Rechnung "verbirgt". Real ist aber, das die Strahltaille nicht nur viel dichter am rechten Ende des Mediums / Rohres liegt und zudem auch eine endliche Breite (Wellenoptik / Unschärferelation!) hat und so das Modenvolumen doch größer ist als im Fall des viel schmäleren Strahles im Fall der Annahme durch eine Punktquelle im Abstand R.
Selbst wenn die Punktquelle auf den planen Resonatorspiegel gelegt wird, ist das Modenvolumen immer noch kleiner als in der wellenoptischen Betrachtung mit Strahltaillen endlicher Breite, bedingt durch die endliche Größe der benutzten Lichtwellenlänge. Das ist ganz klar, oder?
Dass dieses Ergebnis zu erwarten ist und auch so sein muss wie errechnet ist daraus rein formal klar - um es zu verstehen und zu verinnerlichen ist aber das räumliche Vorstellungsvermögen ( Modenvolumen unterschiedlich breiter und langer Strahlkegel ! ) gefordert. :wink:

Zu der Bemerkung des Prof´s noch :
Das die p-l-Methode empfehlenswert ist wenn Planspiegel involviert sind ist grundsätzlich eine richtige Feststellung - bei dieser Aufgabe ist das der Fall. Er sagt damit nichts anders als ich eben.
Pädagogisch hat der Kollege damit aber viele Missverständnisse produziert, denn bei einem Planspiegel als Resonatorspiegel stellen sich sofort wieder neue Fragen, was die TEM-Modenstruktur angeht - Rechteck oder Kreissymmetrie? :wink:
Dennoch lassen sich die M-Parameter einfach durch den Abstand der Spiegelränder festlegen, wobei die obige künstlich von mir erhobene Frage dann mit der Form des Spiegelrandes (runder Spiegel / rechteckiger Spiegel) beantwortet wird.
"Planspiegel involviert" sind in diesem Aufbau allerdings auch. Das zeigt sich auch daran, dass hier erhebliche Abweichungen im Modenvolumen von geometrischer Optik bei N=1 (!) zur Wellenoptik auftreten. Das ist allerdings auch bei einem konfokalen Resonator im Bereich der Stahltaille genauso: Das Modenvolumen müßte ja dann bei großen Rayleigh-Längen und geringen Strahlneigungen in der geometrischen Optik verschwinden oder sehr klein werden. In der Wellenoptik ganz anders, dort unterschreitet das Modenvolumen im Rayleigh-Bereich eine bestimmte Größe niemals -> Unschärferelation... Auch hier ist wieder die Quantenmechanik am Werk...! :freak:

@Matthias:
Konnte diese Erklärung die Aufgabe lösen und zumindest erklären wie Du rechnen musst / kannst? Du weisst ja: Viele Wege führen nach "Rom"...
( Ja, ich weiss, der Spruch einer alternden Physikerin ... :wink: )
@ alle andern hier:
Entschuldigt meine "Sauklaue" (Rechtschreibung) und meine Weitschweifigkeit (heisst das überhaupt so ?) in dem semantischen Netzwerk dieser Frage... :oops:

Grüße meiner jetzt sonnigen Heimatstadt,

Undine

P.S.: Als Quellenangabe für das erste Bild dieses Beitrages verweise ich auf die AG Lasertechnik des Institutes für Materialwissenschaft und Werkstofftechnologie der Universität Jena.
Die Wiedergabe dieses Auszuges aus dem Lehrmaterial findet hier zu Zwecken der Forschung und Lehre und der Ausbildung statt und ist aus diesem Grund nach dem geltende Urheberrechtsgesetz zulässig. Vielen Dank für die Bereitstellung dieser Materialien. :)
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » Fr 06 Jun, 2014 3:15 pm

Nachtrag hierzu noch:

Eine weitere Verbesserung / Vergrößerung des Modenvolumens ergibt sich aus der Verwendung des Spiegelkrümmungsradius anstelle von R, die "Punktquelle" ist dann weiter weg und entspricht in dieser Anordnung dem Spiegelbild in dem Planspiegel.
Der Strahl hat dann einfach geometrisch durch seine Divergenz ( Fresnelsche Näherung einer Kugelwelle ! ) einen größeren Querschnitt.
Das ist dann aber das Maximum an Zunahme für das Modenvolumen nach dieser Methode. :wink:

Eine andere Methode das rechnerische Ergebnis zu vergrößern ist auch, wenn man nicht einen "normalen" Gaußstrahl nimmt sondern einen mit um 19^(1/2) verbreiterten - das ist dann eine Kombination mit der p-l-Methode. Das Modenvolumen dann doppelt ungefähr doppelt so groß wie bei der p-l-Methode.

Aber : Das sind keine von der Theorie her konsistenten Argumentationen - es kommt nicht darauf an, ein möglichst gutes Ergebnis im Sinne der Konvergenz beider errechneten Zahlen mit "irgendwelchen Rechentricks" zu erreichen. Das erinnert an die - schon zur Zeit von Johannes Kepler gebräuchliche - Methode "die Erscheinung zu retten" ( also etwas mit beliebiger Mathematik zu erklären) ohne das ein zusammenhängender Gedanke dahinter steht.
Was anderes ist das nicht was ich da beschreibe, oft aber gängige Methode ist. Stark sind die Numeriker darin. Genauigkeit ohne Idee dahinter - mal ehrlich : Wie genau ist das denn dann? :wink:
Erkenntnis über die Physik wird nur dadurch gewonnen wenn einem Ergebnis konsequente Gedanken hinterlegt sind, will heißen, Man(n)/Frau weiss was er/sie rechnet. Die Ergebnisse ( in der Theorie meistens in Form von Zahlen ) sagen dann etwas über die Stimmigkeit des gedanklichen Ansatzes aus. Dieser darf dann ggf. modifiziert werden und konsequent neu durchdacht und durchgerechnet werden.
Schließlich beziehen sich zwei unterschiedliche Methoden ( hier sind das die p-l-Methode und die geometrische Optik ) auf eine Erscheinung - nähmlich die tatsächlich auftretenden Moden höchster Ordnung in einem FPI-Resonator. Wir haben also wissenschaftsmethodisch gesehen ein "semantisches Dreigestirn" , zwei unterschiedliche Annahmen der Theorie und die physikalische Realität im Experiment, die miteinander wechselwirken. :wink:

Ich schreibe das damit einem im Studium klar ist was Man(n)/Frau gerade macht, wenn sich bestimmte Arbeitsweisen angewöhnt werden, auch wenn diese gängige Praxis sind und damit den Weg zum persönlichen Aufstieg zu ebnen scheinen. Es gibt ja nach diesem "Dreigestirn" die wirkliche Wahrheit und die wahre Wirklichkeit - und jede(r) sollte wissen was er/sie sucht und anstrebt - oder?

Grüße nach Jena,

Undine
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon Matthias1 » So 08 Jun, 2014 7:25 pm

Hallo Undine,

Danke für die ausführliche Antwort.
Es ist halt leider nunmal so, dass lieber mehr Volumen als Tiefe gelehrt wird... Wie soll es ein normaler Student der 10 Prüfungen anstehen hat, da noch schaffen sich ausführlich mit allem zu beschäftigen.... Ich finde der Unterschied macht immer, dass manche einfach alles hinnehmen und andere hinterfragen. Die meisten sind leider Ersteres...


Grüße :D
Matthias1
 
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Re: Modenvolumen berechnen

Beitragvon undineSpektrum » So 08 Jun, 2014 9:26 pm

Lieber Matthias,

ja, Du hast da wie so oft grundsätzlich recht.
Bedenke vielleicht eines : Ich habe lange Zeit vor der Umsetzung der Studienreform durch Bologna studiert und die Umwälzungen dadurch nur noch "am Rande" registriert, vieles nur vom "hören-sagen". Deshalb kann die Tiefe nicht mehr stattfinden, wenn es dafür die breite geht, das ist doch klar. Eigentlich ist das eine andere Formulierung der Unschärferelation in der menschlichen Geistesentwickelung... :wink:
Von daher : Unser Blick reicht ja (über weite bewaldete Hügel) bis zum rötlich-schimmernden Horizont ... bis zum Dunstschleier über der nächsten Großstadt... :wink:
Und ausserdem : Die Zeiten bis zum Vorexamen (Vordiplom) waren auch schon vor der Studienreform für viele Studierende in Fächern wie Physik, Chemie aber auch technischen Fachrichtungen wie Maschinenbau oder Elektrotechnik "akrobatiken", vieles Wissen aus der Schule fehlte da schlicht und einfach und ich glaube das hat sich nicht gerade verbessert.
Wer da mithalten wollte musste seine autodidaktischen Fähigkeiten strapazieren... bei Physik empfanden und empfinden es wahrscheinlich immer noch viele so, daß sie vor dem eigentlichen Fachstudium noch ein anderes Fach studieren müssen. Und bei euch jetzt ist jede erste Klausur gleich eine benotete Prüfung, davor waren wir erstmal mit dem "Schein" geschützt - der musste ja zuerst gemacht werden um die Prüfung schreiben zu können. :)
Wer heute studiert - insbesondere in den ersten Semestern der naturwissenschaftlich-technischen Fächer - kann sich über ein freies Wochenende mal freuen - den Kopf ohne Zahlen voll... oder? :wink:
Das ist das neue Turbo-Studium. Ich bemerkte schon 1998 dass es ( damals wurde es ja schon angedacht ) dem Geistesleben an den Hochschulen nicht nur nützen würde - ebenso wie "G8" in der Schule.
Beim Abitur nach 12 Schuljahren in der Regel fällt viel Lernstoff hinten einfach weg.... und es gab dazu nie vernünftig umstrukturierte Lehrpläne für das Gymnasium. Die Lehrer/innen bekamen von den Schulbehörden dazu gesagt : "Seht mal zu..." :shock: ... was jetzt endgültig in´s Off-Topic hierzu führt.

Grüße nach Jena, :D

Undine
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