Leistung und Bestrahlungsstärke

Physikalische Grundlagen, Information und Fragen zu Lasern.

Moderator: ekkard

Leistung und Bestrahlungsstärke

Beitragvon neo200 » Di 15 Apr, 2014 10:08 am

Hallo zusammen,

ich würde gerne die Bestrahlungsstärke eines Lasers berechnen. Jetzt kann ich natürlich sagen, dass sich die ganze Leistung auf den gesehenen Punkt verteilt, jedoch passt das nicht mit dem Gaußstrahl zusammen. Laut WIKI:

For a circle of radius r = w(z), the fraction of power transmitted through the circle is 0,865. Similarly, about 95 percent of the beam's power will flow through a circle of radius r = 1.224*w(z).

Allerdings weiß ich nicht, bei welchem Radius die Intensität auf 1/e² gefallen ist. Die Frage ist, wie man möglichst realistisch die Bestrahlungsstärke berechnen kann? Den Laserpunkt, den wir sehen, hat wahrscheinlich auch noch nicht den kompletten Radius des Strahlprofils oder?

Danke!
neo200
 
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Re: Leistung und Bestrahlungsstärke

Beitragvon undineSpektrum » Mi 16 Apr, 2014 3:08 am

Hallo liebe(r) neo2000,
( und alle die hier mitlesen wollen … ) :)

Herzlich Willkommen hier und vielen Dank für Deine Frage(n) - es sind ja gleich drei auf einmal, allerdings haben alle miteinander zu tun und leider geht begrifflich da so einiges durcheinander wie´s mir scheint ... aber, so ist das eben bei Fragen...

Du willst also die Bestrahlungsstärke eines Lasers berechnen, der einen fast idealen Gaußstrahl erzeugt?

Zuerst zwei begriffliche Unterschiede, die etwas damit zu tun haben, was Du berechnen willst bzw. für welche Anwendung die Berechnung sein soll. :
Bestrahlungsstärke im Sinne der Physik elektromagnetischer Wellen, die auf eine Ebene / Fläche auftreffen ist die Intensität dieser elektromagnetischen Wellen, die sich aus dem zeitlichen Mittel des Betragsquadrates der elektrischen Feldstärke ( Poynting- Vektor über große Zeiten im Verhältnis zur Periodendauer der Lichtwellen integriert ) errechnet und dann die Strahlungsenergie beschreibt, die pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Fläche hindurchtritt.
Oder aber anders ausgedrückt : Es ist die Strahlungsleistung die auf eine bestimmte (gedachte oder physikalisch reale ) Fläche eingestrahlt wird. Für alle Fotovoltaikanwendungen oder auch die Messtechnik ist das wichtig wie groß diese ist.
Am Äquator bei wolkenlosem Himmel ist das bei unserer Sonne ja durch die Solarkonstante bestimmt. Bei Lasern hängt es aber entscheidend von der Strahlungsleistung P des jeweiligen Gerätes ab - der Zusammenhang wird noch deutlich werden.

Die „Bestrahlungsstärke“ im Sinne der wahrgenommenen „Helligkeit“ mit der eine Fläche beleuchtet wird hängt zwar mit der physikalischen Bestrahlungsstärke zusammen, ist aber ein lichttechnischer oder ggf. physiologisch interessanter Begriff. Die Helligkeit errechnet sich im einfachsten Fall aus der physikalischen Bestrahlungsstärke nach dem Gesetz von Weber und Fechner, dies ergibt zumindest bereichsweise einen logarithmischen Zusammenhang.

Ich denke aber mal, Du meinst - gerade im Zusammenhang mit Laserlicht - die physikalische Bestrahlungsstärke, also die Lichtintensität und die aus Ihr abgeleitete messbare Größe der optischen Strahlungsleistung. Oder? :wink:
Die zugrundeliegenden elektromagnetischen Wellen für die Betrachtungen sind Gaußstrahlen, wie sie beispielsweise ein Gaslaser wie der He-Ne-Laser ( in sehr guter Näherung ) ausstrahlt.
Die Situation die Du vor dem geisten Auge hast und betrachtest entspricht der folgenden, richtig?

Aufbau.jpg


Die Feldverteilung der elektrischen Feldstärke eines solchen Gaußstrahles setze ich mal als bekannt voraus, in Ordnung?

Deine Situation ist die, dass z.B. ein sichtbarer Gaslaser wie der He-Ne-Laser auf eine x,y - Ebene die in festem Abstand z vom Austrittsspiegel des Lasers ( auf der seine Strahltaille mal liegen soll ) und senkrecht zur Strahlachse oder optischen Achse des Gaußstrahles orientiert ist einen Laserstrahl aussendet. Du willst Strahlungsintensität und Strahlungsleistung berechnen in dem Laserspot / Lichtfleck in dieser Ebene im Abstand z vom Austrittsspiegel.

Die Intensität ergibt sich durch Bestimmung des zeitlich gemittelten Betragsquadrates der elektrischen Feldstärke ( zeitgemittelter Poynting-Vektor ) in der Senkrecht zur Strahlachse orientierten x-y-Ebene allgemein zu:

Formel0.jpg


Das sieht dann in der x-y-Ebene wie folgt aus und ist auch sichtbar wenn Du Deinen Laserpunkt / Laserspot vergrößert betrachtest – bei größeren Abständen ist es – abhängig von den Laserdaten - sogar aus größerer Entfernung direkt sichtbar: ( Die Bestrahlungsstärke / Intensität ist hier im Bild als Grauton dargestellt )

INTENSIT.jpg


Im Querschnitt z.B. entlang einer Raumrichtung also z.B. von links nach rechts durch die Mitte des Spots betrachet ergibt sich mit der Lichtintensität als Kurve dargestellt eine typische "Gaußglocke", deren Argument von x oder y und von dem Strahlradius des Gaußstrahles w(z)
abhängt. Das sieht dann im wesentlichen so aus:

W(Z).jpg


Der 1/e² - Punkt des Strahles mit der maximalen Intensität i[0]( die in der Mitte dieser Gaußglocke herrscht ! ) ist dabei an der Stelle wo sich der Strahlradius w(z) befindet – das ist eine Definition des Strahlradius und für jeden Gaußstrahl immer wieder die gleiche Formel -> siehe auch dazu die Theorie des Gaußstrahls:

Radius.jpg


Die vom Abstand z vom Austrittsspiegel des Lasers auf der Strahlachse in der Ausbreitungsrichtung z abhängige Größe des Strahlradius w(z) ergibt sich somit immer eindeutig aus den Strahldaten (z.B. der Wellenlänge und der Strahltaille) Deines Lasers, den Du verwendest. -> Strahlparameter.
z[0] ist dabei der sog. Rayleigh-Bereich des Gaußstrahles, also die Länge bei dem sich der Strahldurchmesser gegenüber dem Taillendurchmesser 2w[0] verdoppelt hat – bezogen auf Intensitäten.

Die Intensität kannst Du – insbesondere bei Laserstrahlung – aber leider in den seltensten Fällen direkt messen - und daraus resultiert schon Dein erstes Problem : Wo ist denn dieses besagte w(z)… also der Strahlradius ?
w(z) kannst Du ja doch aus den Daten - den Strahlparametern - Deines Lasers und dem Abstand z der betrachteten Ebene von der Strahltaille = Austrittspiegel für jeden Abstand z berechnen. Aber : Gemessen hast Du ihn damit nicht. :wink:

Deine Messgeräte im Labor oder in der Werkstatt zeigen ja keine Intensitäten sondern grundsätzlich optische Strahlungsleistungen P an, und zwar die gesamte Strahlungsleistung die auf die Fläche des lichtempfindlichen Sensors auftrifft.
Wenn Du also nicht genau weißt wo die Strahltaille liegt, bzw. welchen Resonatortyp dein Laser hat musst Du den Hersteller des Gerätes fragen oder aber das Datenblatt / Bedienungsanleitung studieren. Aber w(z) kannst Du auch messen und ggf. w[0] und z=0 bestimmen.

Zur Messung von w(z) über die Strahlungsleistung:

Eigentlich steht ja da schon alles in Wikipedia, du hast es ja hier zitiert … :wink:

Die messbare Strahlungsleistung P wird durch die Integration der Intensität i(x,y) über die besagte Fläche also z.B. in ebenen Koordinaten in x-Richtung und y-Richtung berechnet. Für konstante Intensitäten i(x,y)=i[0] ist das sehr einfach, es ergibt sich das Produkt aus der Intensität i[0] in der Fläche A=x*y, Integralrechnung ist da komplett überflüssig.
Für Gaußstrahlen muß die Lichtverteilung nach x und y in der Ebene integriert werden, die Strahlungsleistung P in der gesamten x,y-Ebene „gesamte Strahlungsleistung“ ist definiert durch:

Formel1.jpg


Integrationen gegen das "Unendliche" (oder das was wir Menschen für das "Unendliche" halten...) sind nicht nur mathematisch ein graus... Denn: Jede Sensorfläche in der Praxis hat eine endliche Größe, so dass immer nur Teile der Strahlungsleistung erfasst werden, der „Rest“ geht dabei immer einfach unkontrolliert verloren.
Bei einem idealen, gut gebündelten gebündelten Gaußstrahl ist das jedoch oft sehr wenig, der Lichtfleck ist bei entsprechender Sensorgröße ( 1 cm² ist für sichtbare Laser mit nicht zu kleiner Austrittsöffnung meistens schon sehr groß ! ), klein genug um die optische Gesamtleistung P eines Laserstrahls genau zu bestimmen. Allgemein werden zur Berechnung der Strahlungsleistung aus einem gegebenen Strahlprofil immer endliche Integrationsgrenzen angegeben. Realisiert wird diese Begrenzung durch Messblenden. Die meisten Blenden sind rund, eine rechteckige Blende der Breite b und der Länge l tut´s aber auch und ist auch in ebenen Koordinaten (x,y) etwas leichter zu rechnen. Die erhaltenen Werte für die Strahlungsleistung einer quadratischen Blende mit der Kantenlänge b sind in der Regel etwas größer als die einer Kreisblende mit gleichem Durchmesser, weil über die „Ecken“ jenseits von dem Kreis aber innerhalb des Quadrates mitintegriert wird.

INTEN2.jpg


Formel2.jpg


Achtung : Hier (oben!) gilt nur die Formel über dem Bruchstrich - ein kleiner Fehler in der Bildverarbeitung.

Die Leistung einer quadratischen Blende mit einer veränderbaren Seitenlänge b wird zur Bestimmung der durch diese Blende noch auf den Sensor fallenden Strahlungsleistung im Verhältnis zur Gesamtstrahlungsleistung des Laserstrahls gesetzt – das sind meistens auch angegebene Daten des Lasers oder die Gesamtleistung wird mit möglichst großer Sensorfläche in der Nähe der Austrittsöffnung des Lasers bestimmt. So ergibt sich ein meistens sehr guter Näherungswert der erzeugten, optischen Gesamtleistung wegen der beugungsbegrenzten Bündelung des Laserlichtes. Dann ergibt sich das zu errechnende Verhältnis Strahlungsleistung durch die verstellbare, quadratische Messblende hindurchtritt zur Gesamtstrahlungsleistung des Lasers bei einer Blende der Seitenlänge b ( deren Fläche kleiner als die Sensorfläche ist ) zu:

Formel2.jpg


Wird die Seitenlänge b der Blende über dem Verhältnis der durch die Meßblende tretenden Strahlungsleistung zur Gesamtstrahlungsleistung des Laserstrahls aufgetragen, so ergibt die Auswertung der Integration folgende Formel und Grafik:

FORMEL4.jpg


APERTURU.jpg


Die in dem Ergebnis auftauchende „erf“-Funktion ist eine z.B. als Potenzreihe tabellierte Funktion die numerisch mit beliebiger Genauigkeit ausgewertet werden kann – die Stammfunktion der Gaußglocke eben ( die es tatsächlich gibt ! ) … Manche Taschenrechner können sie mit großer Genauigkeit automatisch auswerten.
Bislang ist die Seitenlänge der Blende b beliebig und es werden alle Zahlenverhältnisse / Leistungsverhältnisse bis maximal „1“ (Näherungswert der Gesamtleistung) erzeugt.
Ist die Seitenlänge der Blende b = 2*w(z), also der Strahldurchmesser ( will heissen : Jeweils vom 1/e² - Punkt bis zu dem 1/e² Punkt in der x- Richtung und der y-Richtung der Messebene integriert ), dann ergibt sich für das Leistungsverhältnis:

Formel5.jpg

Formel5b.jpg


Apertur2.jpg


Ausgewertet ergibt sich ein Zahlwert von etwa 0,911 = 91,1 % der bestimmten Gesamtleistung des Laserstrahls.

Alternativ ergibt sich für 1,224*2*w(z) als Seitenlänge b der quadratischen Blende ein etwas größerer Wert von ca. 97,1 % der Gesamtleistung.

So lässt sich jetzt w(z) für alle Abstände z von der Austrittsöffnung mit einer solchen Blende bestimmen:
Die z.B. aus 4 schwarzen Plastikstreifen bestehende Blende wird für verschiedene Abstände z des Sensor bei jeweils gleicher Kantenlänge b der beiden Seiten der Öffnung so abdeckt, dass immer 91,1 % der gemessenen, gesamten Strahlungsleistung an der Austrittsöffnung vom Meßgerät angezeigt werden. Die Kantenlänge b der so erzeugten, quadratischen Blenden sind dann die Strahldurchmesser w(z). Sie kann z.B. mit einer Schieblehre bestimmt werden.
Das funktioniert im Prinzip ja so wie hier abgebildet – der Gaußstrahl ist hier allerdings durch eine rote Leuchtdiode simuliert worden! :wink:

Optischer Sensor 1.jpg
OptischerSensor2.jpg
OptischerSensor3.jpg


Die über z aufgetragenen Messwerte der Breite b = 2*w(z) nach dieser Methode zeigen in der Grafik dann sehr genau die Form des Strahlkegels des Gaußstrahls des Laserstrahls. :)
Die Methode ist dabei ja die Abdeckung des Strahlprofils am Sensor des Powermeters von bis zu etwas weniger als 9% der Gesamtstrahlungsleistung durch eine quadratische Blende.
Das Verfahren geht auch sehr gut bei Laserdioden – hier allerdings mit rechteckigen Blenden wegen des elliptischen Strahlprofils.
Mit einer Kreisblende von unterschiedlichem Durchmesser lässt sich dasselbe messen -> Es ergeben sich dann tatsächlich die Werte die Wikipedia angibt und die Du bereits erwähnt hast.

Bestimmung einer mittleren Intensität / Bestrahlungsstärke über den Strahldurchmesser:

Die Intensität = Bestrahlungsstärke des Gaußstrahls wurde ja schon angegeben. -> i(x,y).

Will man diese für einfachere Berechnungen auf eine konstante Bestrahlungsstärke i[0] rechnerisch über den Strahldurchmesser „mitteln“ so wird z.B. davon ausgegangen, dass die Intensität über z.B. eine quadratische Blende als "Strahlquerschnitt" mit der Kantenlänge b der Messblende gleichmäßig verteilt ist.
Das führt dann rechnerisch auf das Ergebnis für die mittlere Intensität i[m]:

Formel6.jpg


Nach den vorangegangenen Erklärungen ist jetzt die mittlere Intensität über den Strahlquerschnitt aus den Daten des Lasers – Ausgangsleistung P, Wellenlänge, Strahlradius w(z) und die Strahlparameter sowie dem Abstand z von der Strahltaille / dem Austrittsspiegel usw. berechenbar.
Diese mittlere Bestrahlungsstärke kann als "Intensität des Laserpunktes" angesehen werden.
Bereits ein He-Ne-Laser von 1 mW Gesamtstrahlungsleistung bei 632,8 nm Wellenlänge erzielt dabei noch in größerer Entfernung von einigen Metern von der Austrittsöffnung ganz erstaunliche Werte. :freak:

War das mit Deiner Frage gemeint?

Ist viel Text mit grausiger Rechtschreibung … waren ja auch gleich mindestens drei Fragen auf einmal …
Entschuldigt bitte … :oops: ich hoffe es macht im Verständnis wenigstens Sinn.
Ich habe mich auch um genug Absätze bemüht...

Falls noch Fragen sind...

Grüße,

Undine
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Re: Leistung und Bestrahlungsstärke

Beitragvon neo200 » Mi 16 Apr, 2014 8:16 am

Vielen Dank erstmal für die lange Antwort. Das ist sehr interessant! Ich habe eher an eine Überschlagsformel gedacht. Wenn ich zum Beispiel einen Laser mit 1mW Strahlungsleistung habe und der einen Spot von Durchmesser d erzeugt. Wenn ich jetzt die Strahlungsleistung auf die Fläche beziehe, hätte ich ja die Bestrahlungsstärke für den Fall einer homogen verteilten Leistung. Dementsprechend würde ich geringe Bestrahlungsstärken bekommen, als würde ich ein Großteil der Leistung auf eine kleinere Fläche beziehen (Gauß), oder? Gibt es hierzu keine Überschlagsformel?
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Re: Leistung und Bestrahlungsstärke

Beitragvon undineSpektrum » Mi 16 Apr, 2014 3:05 pm

Hallo neo200, :)
( und alle die mitlesen wollen ... )

ja, Du argumentierst hier im Prinzip richtig wenn Du schreibst:
Zitat anfang
"Wenn ich jetzt die Strahlungsleistung auf die Fläche beziehe, hätte ich ja die Bestrahlungsstärke für den Fall einer homogen verteilten Leistung. Dementsprechend würde ich geringe Bestrahlungsstärken bekommen, als würde ich ein Großteil der Leistung auf eine kleinere Fläche beziehen (Gauß), oder? "
Zitat ende...
Wenn sich eine Strahlungsleistung auf eine größere Fläche verteilt ergibt sich in der Tat eine geringe mittlere und eine geringere Spitzenbestrahlungsstärke des Gaußstrahles.
Der Spitzenwert ergibt sich aus der "Formel0" aus meinem Beitrag aus der Intensitätsverteilung des Gaußstrahles bei x=0 und y=0.
Dieser nimmt mit z stark ab. Gleiches gilt für den Mittelwert entsprechend (Formel6 aus dem Beitrag). Diese Formel errechnet ja aus dem tatsächlichen Verlauf der Bestrahlungsstärke die mittlere Bestrahlungsstärke ( die eine rein gedachte Größe zur Erläuterung ist ).

Du fragst weiterhin:
Zitat anfang
"Gibt es hierzu keine Überschlagsformel?"
Zitat ende...
Doch die gibt es. Die habe ich ja einführend mit Worten beschrieben. Es gilt ungefähr für konstante Intensitäten :
"(Intensität oder Bestrahlungsstärke) * Fläche = Strahlungsleistung" oder anders : "Strahlungsleistung/Fläche = Bestrahlungsstärke ( oder auch Intensität )", will heissen P[ges]/A=i[m] .... :)
Die zu wählende Fläche "A" ist dann durch den Strahlradius w(z) des Gaußstrahles gegeben, also beispielsweise A=Pi*R^2=Pi*(w(z))^2.
Damit ist die "überschlagene" Bestrahlungsstärke oder Intensität dann: P[ges]/(Pi*(w(z))^2)=i[m] in der Einheit W/m², also Watt pro Quadratmeter. Dieses i[m] entspricht dem in Formel6 wiedergegebenen i[m] wird nur anders ( aus dem tatsächlichen Strahlprofil ) berechnet.
Rechenbeispiel für die Überschlagsformel:

Helium-Neon-Laser der Ausgangsleistung 1mW,
bei einer Entfernung von z= 2.5 m. von der Strahltaille bei z=0 habe der Strahl einen Radius von w(z=2.5*m)=0.015m.=1,5cm. ( Ergebe sich aus der Formel w(z)= ... aus den Strahlparametern.-> Siehe Theorie des Gaußstrahles

Dann ist die überschläglich berechnete, mittlere Strahlungsleistung über den Strahlquerschnitt:
P[ges]/A=P[ges]/(3,14159 * w(z)^2)=(1*10^(-3)*W)/(3,14159 * (0.015*m)^2) = 1W/m² =i[m]

Du kannst den Strahlquerschnitt des runden Gaußprofils aber auch auf eine Quadratfläche A= w(z)*w(z) mit der Kantenlänge des Strahldurchmessers b=2*w(z) beziehen, dann ist die Überschlagsformel:

P[ges]/A= P[ges]/(2*w(z))²= (1*10^(-3)*W)/((2*0.015*m)^2) = 1,11 W/m² = i[m]

Der Wert ist wegen der vier "Ecken" zwischen Kreis und Quadrat die in die Fläche mit einbezogen wurden etwas größer, siehe dazu hier :

INTEN2.jpg


Daraus siehst Du auch, dass es stimmt, was Du schreibst, dass das Ergebnis von der Wahl der "Strahlquerschnittsfläche" abhängt.
Ob rundes oder quadratisches Strahlprofil bewegt sich dabei hier im Bereich einiger Prozente.

Die hier gezeigte Überschlagsrechnung macht nur von dem Gaußstrahl in Form des Strahlradius gebrauch. Das tatsächliche Profil spielt keine Rolle dabei. Ich habe es in meiner Berechnung berücksichtigt und umgekehrt die Überschlagswerte daraus hergeleitet. Denn : In dem tatsächlichen Profil liegt die Bestrahlungsstärke in der Mitte höher als der Überschlags- oder Mittelwert und das kann bei Berechnungen (z.B. Abschätzungen der Lasersicherheit ) in ungünstigen Fällen eine Rolle spielen... :)
Ich weiss ja nicht was Du genau brauchst - eine einfache Formel hast Du ja jetzt.

Falls noch Fragen sind ... jederzeit gerne!

Grüße,

Undine
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