Gauss Profil Laserstrahl simulieren

[diak]

Hallo liebe Laserfreaks ich brauche eure Hilfe,
unzwar möchte ich einen Laserstrahlprofil simulieren, gemeint ist das Lichtintensitätprofil angewandt auf den Durchmesser also ein I gegen r Diagramm.
Hintergrund ist, dass ich die Änderung der Homogenität simulieren möchte, wenn man den Strahl von 9 mm auf 5.8 mm verkleinert. Mit einem Surelite 3 Laser der Firma Continuum http://www-bd.fnal.gov/icfabd/ICUIL/Tom ... ov2009.pdf.

Nun findet man bei Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Strahl,
dass I(r,z) = I(0) * {w(0)/w(z)}² * Exp{-2*r²/w(z)²}
wobei w die Strahltaille,
z der Abstand des Laserstrahls vom Laser,
r der Radius
und I(0) die Intensität des Laserstrahls ist.
w(z) defniert sich dann aus :
w(z) = w(0) * {1 + {z/z(0)}²}^1/2

Was ich nicht ganz verstehe:
1. was ist der Unterschied zwischen Strahltaille und Radius?
2. wie wird in der 2. Gleichung z(0) definiert, wäre das nicht 0 ?

Wenn mir da mal jemand auf die Sprünge helfen könnte.

[andythemechanic]

Hi,

also mit Radius r ist der gerade betrachtete Radius im zylindrischen Koordinatensystem gemeint. Das kannst genauso in der Strahltaille machen, dort hast du die Beziehung I=I0*exp(-2r^2/w_0^2) d.h. bei Radius r=w_0 (w_0 = Strahltaille =minimaler e^-2 radius deines Strahl bei gegebener Divergenz) ist die Intensität gerade auf Io*exp(-2) abgefallen.
In der zweiten Formel ist es nicht z(0) sondern z_0. z_0 ist deine Rayleighlänge d.h. der Abstand von der Taille wo dein Strahl gerade auf die doppelte Fläche divergiert ist oder die Intensität auf der Achse auf die Hälfte von I0 abgefallen ist.

Grüße
Andreas

[diak]

Hi Andreas,

danke für deine Antwort, ganz verstanden habe ich sie leider nicht, da ich kein Physiker bin.
Deshalb erstmal die Frage ob man die Gleichungen für mein Vorhaben nehmen kann, weil ich ein Strahlprofil in y-Richtung simulieren will, wenn der Laserstrahl sich in x-Richtung ausbreitet?
Habe nämlich grad das Gefühl, das es so nicht geht.

Grüße Diak

[andythemechanic]

Doch das geht schon. Also in den Gleichungen des Gaussstrahls wird von einem zylindersymmetrischen Strahl ausgegangen, der sich in z-Richtung ausbreitet.
Was du mit y-Richtung meinst ist dann (wahrscheinlich, wenn ich dich richtig verstehe) die r-Richtung, also die Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Siehe hier für das Koordinatensystem: http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoord ... oordinaten

Was willst du denn mit dem Laser machen?

Grüße
Andreas

[diak]

Hmm,
also gemeint habe ich den Fall für Phi=0 (Zylinderkoordinaten), damit müssten zwei Senkrechte Achsen z,r (Zylinderkoordinaten) übrig bleiben. Die man direkt als karthesische darstellen kann mit z=z und r=x. Ich hatte oben z einfach y genannt. Was ich genau simulieren will ist, wenn man in den Strahl direkt guckt (was man nicht machen sollte), und dann von dem Mittelpunkt des Strahls ausgeht und in eine Höhenrichtung also z (karthesisch) oder in eine Seitenrichtung also y (karthesisch) schaut, wie sich dann die intensität verändert.
Es sollte ja so etwas wie ein Gaussfkt. rauskommen mit der unabhängigen Variable, Abstand vom Mittelpunkt.

Nun hatte ich mich gefragt was hier

I=I0*exp(-2r^2/w_0^2)

die unabhängige Variable ist, eigentlich ja w_0 denn r ist ja bei meinem Laser 4.5 mm, aber dann geht I gegen I0. Wenn r die unabhängige Variable dann bekomme ich ein Art Gausfunktion raus. Bloß was setzte ich dann für w_0 ein? Etwa w_0 mit 4.5? Das ist eben woran ich hänge.
Nur sicherheitshalber w_0 meint w am Punkt z=0 (Zylinderkoordinaten)?

Was ich simulieren will, ist die Homgenitätsveränderungen durch Spotverkleinerung und Rückreflektion. Habe ich beides schon ausprobiert es gibt mehr Signal, aber nun will ich noch die Homogenität simulieren, kann ich nicht messen.

Gruß
Diak

[ekkard]

Schau mal weiter oben: w_0 ist die so genannte Strahltaille. Diese ist durch Wellenlänge (λ) und Divergenz (ε) gegeben. Letzere ist teilweise eine Eigenschaft des Resonators bzw. seiner Blenden. w_0 = 2*λ/(π*ε)

[diak]

Hi,
also das w_0 die Strahltaille ist weiß ich mittlerweile. Mein Problem damit ist viel elementarer, wozu brauche ich ein Taille was dem Wort nach ein Umfang sein müsste, wenn ich den Radius habe, denn für einen Kreis beispielsweise, wäre er mit r=U/2*Pi definiert. Also könnte ich das eine mit dem anderen ersetzen.

Wenn ich für w_0

w_0 = 2*λ/(π*ε)

die Wellenlänge und Divergenz einsetze, wäre es ein Konstante mit der Dimension nm/°. Wenn aber r meine unabhängige Variable ist, wo setze ich dann meine Laserstrahldurchmesser ein.
Weiterhin sieht es dann, wenn ich r als den Radius des Laserstrahls annehme, so aus als würde die Homogenität für die Strahlverkleinerung eher nicht verändert.

Schreibt bitte, ob ich da auf den Holzweg bin oder nicht danke.

Grüße Diak

[andythemechanic]

Hi,

ich glaub du musst den Wikipediaartikel über den Gaussstrahl einfach mal komplett durchlesen, da ist eigentlich alles erklärt. Auch die Nomenklatur, die in der Optik benutzt wird, ist dort erklärt.
Ein Gausstrahl bleibt auch durch Veränderung von Strahldurchmesser/Divergenz mit einer (paraxialen) Optik ein Gausstrahl. Die gängigen Definitionen für die Homogenität eines Strahls ergeben dann auch die gleichen Werte, wenn man sie auf den jeweiligen Strahldurchmesser bezieht. D.h. wenn du dir die Homogenität eines Gausstrahls im Bereich r (oder y) =+-w anschaust so wird sie immer gleichbleiben.

Grüße
Andreas

[ekkard]

Hallo 'diak',

Mein Problem damit ist viel elementarer, wozu brauche ich ein Taille was dem Wort nach ein Umfang sein müsste, wenn ich den Radius habe, denn für einen Kreis beispielsweise, wäre er mit r=U/2*Pi definiert. Also könnte ich das eine mit dem anderen ersetzen.

Nein. Die "Strahltaille" ist der Durchmesser des Strahles an der engsten Stelle. Dort ist der Strahldurchmesser nicht =0.
Da die Strahldichte eines Gauß-Strahls auch in der Taille nicht plötzlich auf 0 (W/(m²*sr)) fällt, ist der Durchmesser durch eine Konvention bestimmt z. B. der, dass die Strahldichte auf 90% abgesunken sein soll. Dies ist an zwei gegenüber liegenden Stellen der Fall, deren Abstand wird genommen, in deinem ursprünglichen Post als "w(z) = w(0) * {1 + {z/z(0)}²}^1/2" bezeichnet.

(Es gibt auch andere Konventionen z. B. der Abfall auf 63% der gesamten Strahlungsleistung im Strahl. Das ist zwar eigentlich ein Umfang, aber hier ist gleichwohl dessen Durchmesser gemeint. Man muss also ein Bisschen aufpassen, wovon die Rede ist.)

Wenn ich in // w_0 = 2*λ/(π*ε) // für w_0 die Wellenlänge und Divergenz einsetze, wäre es ein Konstante mit der Dimension nm/°.

Nein, sondern in Längeneinheiten. π*ε ist dimensionslos. ε ist in Radiant (dimensionslos) einzusetzen.

Wenn aber r meine unabhängige Variable ist, wo setze ich dann meine Laserstrahldurchmesser ein.

Wie gesagt, der jeweilige Strahldurchmesser ergibt sich je nach Strahlfortschritt, deine z-Richtung, immer bei den beiden Punkten deiner Konvention als z. B. bei 90% der Strahldichte. Da der Strahl immer etwas divergent ist, wird der Strahldurchmesser je nach Entfernung von der Strahltaille größer.

Weiterhin sieht es dann, wenn ich r als den Radius des Laserstrahls annehme, so aus, als würde die Homogenität für die Strahlverkleinerung eher nicht verändert.

Wenn der Strahl durch eine Linse verengt wird, wird er weniger homogen; denn denn die Änderungen der Strahldichte im Strahlquerschnitt wird auf weniger Distanz zusammen gequetscht.

Im Übrigen geht das nur bis zu einem gewissen Grad. Darunter kann man nicht mehr geometrisch-optisch rechnen, sondern muss tatsächlich die Wellenausbreitung genauer studieren. Ich habe mir jetzt nicht angesehen, ob dies bei der Verkleinerung von 9 auf rund 6 mm bereits der Fall ist. Bei welchem z sollen die ursprünglichen 9 auf 6 mm reduziert werden. (Das ist nicht gleichgültig: Bei z=0 kannst du gar nichts reduzieren).

[diak]

Danke schön erstmal vorallem ekkard, dass du dir die Mühe gemacht hast es auseinanderzunehmen.

Ich habe nun etwas rumprobiert und das hier http://mccombe.physics.buffalo.edu/lab- ... nBeams.pdf
noch gefunden.

Nun habe ich das versucht die Gaussprofile der Strahlen zu simulieren.
Die Verkleinerung des Strahls wird durch die Kombination von einer Sammel und einer Streulinse erreicht.
Die Entfernung der Linsen von einander beträgt 18-19.5 cm.
Die Divergenz habe ich vernachlässigt, da 0.5 mrad auf 40 cm (von Laserkopf Ende bis Sammellinse Anfang) einen geringen Einfluss haben sollte.
Die Verkleinerung soll von Strahlradius r1 = 4.5mm auf r2 = 2.9mm erfolgen.

Hierfür hab ich folgendes gemacht:
Ausgangsstrahl 2D mit I1 = I0 * Exp[-2 * r^2/w_0^2]; mit w_0 = 4.5;
Verkleinerter Strahl I2 = I0 * f * Exp[-2 * r^2/wn_0^2] mit wn_0 = 2.9;
f wird bestimmt aus dem Integral I1(r) von -4.5 bis 4.5 = Integral I2(r) von -2.9 bis 2.9 * f
oder 4.5/2.9 = f. Unter Vernachlässigung der Intensitätsabnahme bei Durchgang durch die Linsen.

Das Problem dabei ist, dass die Definition eines Laserstrahls für den Radius von 4.5 mm in I1 1/e^2 ist.
aber für I2 für 2.9 als Radius 1/e^2 * f ist.

Aus der parameterisierten Gaussfunktion der Form A*f*Exp[-2 * x^2/B^2] (A,B, Konstanten f wie oben) ergibt sich nun die Frage,
wie B angepasst werden muss, damit auch hier 1/e^2 die Breite des Strahls ist?
Denn B ist ja eine Art Steilheit der Gaussfunktion.

3-Dimensionaler Fall
Weiterhin, um meine Messdaten (Signalmessung (Aktinometer) mit und ohne Linsen), vom Faktor her zu vergleichen.
Da der Laserstrahl in r-Richtung das gleiche Verhalten hat wie in die Richtung 90° dazu, hab ich einfach einen Term angefügt.

I13D = I0 * Exp[-2 * r^2/w_0^2] * Exp[-2 * y^2/w_0^2] damit bekommt man, zumindest der Form nach, ein Gaussprofil in 3D
für die verkleinerte Funktion gilt dann I23D = I0 * f1 * Exp[-2 * r^2/wn_0^2] * Exp[-2 * y^2/wn_0^2]
und f1 ergibt sich dann aus (4.5/2.9)^2 = f1.
Hierbei stimmen die Integrale auch und der Faktor ist mit dem der theoretischen Vergrößerung der Energiedichte auch konform.

Was ist daran falsch? Da doch die Defintion für den Laserstrahl immer gleich sein muss oder?

Noch die Frage etwas abseits vom Thema, was hat es für einen Vorteil für einen Gaussstrahl Zylinderkoordinaten zu verwenden?

[ekkard]

Nun habe ich das versucht die Gaussprofile der Strahlen zu simulieren.

... zu ermitteln?

Die Verkleinerung des Strahls wird ...
Hierfür hab ich folgendes gemacht:
Ausgangsstrahl 2D mit I1 = I0 * Exp[-2 * r^2/w_0^2]; mit w_0 = 4.5;
Verkleinerter Strahl I2 = I0 * f * Exp[-2 * r^2/wn_0^2] mit wn_0 = 2.9;
f wird bestimmt aus dem Integral I1(r) von -4.5 bis 4.5 = Integral I2(r) von -2.9 bis 2.9 * f
oder 4.5/2.9 = f. Unter Vernachlässigung der Intensitätsabnahme bei Durchgang durch die Linsen.

Das Problem dabei ist, dass die Definition eines Laserstrahls für den Radius von 4.5 mm in I1 1/e^2 ist.
aber für I2 für 2.9 als Radius 1/e^2 * f ist.

Ich glaube nicht, dass ich das so ganz verstehe. Dein Ziel ist doch, die Parameter nach Verringerung des Strahlquerschnitt aus jenen des Ausgangsstrahles zu berechnen - oder? Die Integration soll wohl eine Beschreibung sein für die Energie-Erhaltung im Strahl? Davon kann man ausgehen unter der Voraussetzung, dass die Linsen keine nennenswerte Absorption aufweisen.
Man muss also die beiden Parameter f und wn_0 so anpassen, dass dies der Fall ist. Dabei ist f>1 und wn_0<w_0 und zwar in dem Maße, wie die Glockenkurve steiler werden soll, also wn_0 := (2,9/4,5) * w_0. f = INTEGRAL(I2)/INTEGRAL(I1), wobei die Integration in beiden Fällen über den variablen Radius bis ins Unendliche geführt werden kann, was die Sache vereinfacht. Die Information über die größere Schlankheit steckt bereits im reduzierten wn_0. (Das Integral der rotationssymmetrischen Gaußfunktion kann man nachschlagen: Bis auf ein paar Konstanten, die gekürzt werden, dürfte sich ein Faktor 4,5/2,9 oder (4,5/2,9)² ergeben, weil wn_0/w_0 durch die Integration reproduziert wird. Ich hab' jetzt keine Lust, das Integral der Gaußfunktion nachzuschlagen).

3-Dimensionaler Fall

Ja, du kannst (musst sogar) von der Rotationssymmetrie der Strahldichteverteilung ausgehen.

I13D = I0 * Exp[-2 * r^2/w_0^2] * Exp[-2 * y^2/w_0^2] damit bekommt man, zumindest der Form nach, ein Gaussprofil in 3D
für die verkleinerte Funktion gilt dann I23D = I0 * f1 * Exp[-2 * r^2/wn_0^2] * Exp[-2 * y^2/wn_0^2]
und f1 ergibt sich dann aus (4.5/2.9)^2 = f1.
Hierbei stimmen die Integrale auch und der Faktor ist mit dem der theoretischen Vergrößerung der Energiedichte auch konform.

Das klingt vernünftig und deckt sich mit meiner Erfahrung (s.o.). Wie gesagt nachgeprüft habe ich das nicht. Aber das Quadrat von (4.5/2.9)² ist das, was u. a. zu erwarten ist.

Noch die Frage etwas abseits vom Thema, was hat es für einen Vorteil für einen Gaussstrahl Zylinderkoordinaten zu verwenden?

Die Wahl des Koordinatensystems ist gleichgültig, da alle Wellenausbreitungsrechnungen davon unabhängig sind. Man nimmt also das System, welches in unserem Fall die Achsen- (Rotations-) Symmetrie eines Laserstrahls auszunutzen gestattet z. B. bei der o. beschriebenen Integration der Gauß-Verteilung.

Noch ein kleiner Hinweis, der mir die Sache erleichtert hätte: Die ganze Rechnerei ist weit weniger wichtig als die Beschreibung dessen, was du erreichen willst. Ich habe dies oben mit ein paar dürren, eigenen Worten zu klären versucht. Es ist eigentlich ganz einfach: Du gehst von der Erhaltung der Strahlungsleistung aus und schickst den (Gauß-) Strahl durch 2 Linsen. Dabei vernachlässigst du die Absorption und die zwischen den Linsen zu erwartende Aufweitung. Damit bleibt es bei der geometrisch-optischen Querschnittsänderung durch die Optik. Solange keine Beugunsbegrenzung eintritt, wird sich die Strahldichteverteilung von der Funktionsform her nicht ändern, sondern nur dessen Parameter. Deine Frage zielt also darauf, welche Änderungen an diesen Parametern vorzunehmen sind. Diese Parameter sind die Streubreite und die maximale Strahldichte.
Die Streubreite ist übrigens nicht die Strahltaille, sondern deren im Strahlverlauf vergrößerte "Schwester" w(z) bei r=0.

[diak]

Hallo ekkard, vielen Dank.

Ich gucks mir heute Abend nochmal im Detail am. Die Integration brauchst du wirklich nicht nachschauen, ich benutzte die Software Mathematica und da braucht man einen Befehl dafür.

Grüße Dirk